Номер 211, страница 114 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

211. а) В параллелограмме стороны равны 7 см и 9 см, а диагонали относятся как $4 : 7$. Найдите диагонали параллелограмма.

б) В параллелограмме одна из диагоналей на 2 см больше другой, а стороны равны 11 см и 13 см. Найдите диагонали параллелограмма.

а)

Для решения задачи используется свойство параллелограмма, согласно которому сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, формула выглядит так: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали, а $a$ и $b$ — смежные стороны.
По условию, стороны равны $a = 7$ см и $b = 9$ см. Диагонали относятся как $4:7$. Обозначим диагонали как $d_1 = 4x$ и $d_2 = 7x$.
Подставим эти значения в формулу:
$(4x)^2 + (7x)^2 = 2(7^2 + 9^2)$
$16x^2 + 49x^2 = 2(49 + 81)$
$65x^2 = 2(130)$
$65x^2 = 260$
$x^2 = \frac{260}{65}$
$x^2 = 4$
$x = 2$ (так как длина не может быть отрицательной).
Теперь найдем длины диагоналей:
$d_1 = 4x = 4 \cdot 2 = 8$ см.
$d_2 = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см.

Ответ: 8 см и 14 см.

б)

Используем ту же формулу: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.
По условию, стороны равны $a = 11$ см и $b = 13$ см. Одна из диагоналей на 2 см больше другой. Обозначим одну диагональ как $d$, а другую как $d + 2$.
Подставим значения в формулу:
$d^2 + (d + 2)^2 = 2(11^2 + 13^2)$
$d^2 + (d^2 + 4d + 4) = 2(121 + 169)$
$2d^2 + 4d + 4 = 2(290)$
$2d^2 + 4d + 4 = 580$
Разделим все уравнение на 2, чтобы упростить его:
$d^2 + 2d + 2 = 290$
$d^2 + 2d - 288 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти дискриминант. По теореме Виета, произведение корней равно -288, а их сумма -2. Подходят числа -18 и 16.
$(d - 16)(d + 18) = 0$
Корни уравнения: $d_1 = 16$ и $d_2 = -18$.
Так как длина диагонали не может быть отрицательной, выбираем корень $d = 16$.
Таким образом, одна диагональ равна 16 см.
Вторая диагональ: $16 + 2 = 18$ см.

Ответ: 16 см и 18 см.