Номер 208, страница 114 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

208. Выясните, каким является треугольник (остроугольным, прямоугольным или тупоугольным), если его стороны равны:

а) 10, 8 и 7;

б) 20, 21 и 29;

в) 5, 6 и 8.

Для определения вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) по его сторонам $a$, $b$ и $c$, где $c$ – наибольшая сторона, используется следствие из теоремы косинусов. Необходимо сравнить квадрат наибольшей стороны $c^2$ с суммой квадратов двух других сторон $a^2 + b^2$.

• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то угол, лежащий против стороны $c$, острый. Так как это наибольший угол в треугольнике, то и два других угла тоже острые. Следовательно, треугольник остроугольный.
• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то угол, лежащий против стороны $c$, прямой ($90^\circ$). Следовательно, треугольник прямоугольный.
• Если $c^2 > a^2 + b^2$, то угол, лежащий против стороны $c$, тупой. Следовательно, треугольник тупоугольный.

а)

Даны стороны треугольника: 10, 8 и 7. Наибольшая сторона $c = 10$, а две другие стороны $a = 8$ и $b = 7$.

Найдем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 10^2 = 100$.

Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 8^2 + 7^2 = 64 + 49 = 113$.

Сравним полученные значения: $100 < 113$.

Так как $c^2 < a^2 + b^2$, треугольник является остроугольным.

Ответ: остроугольный.

б)

Даны стороны треугольника: 20, 21 и 29. Наибольшая сторона $c = 29$, а две другие стороны $a = 20$ и $b = 21$.

Найдем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 29^2 = 841$.

Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$.

Сравним полученные значения: $841 = 841$.

Так как $c^2 = a^2 + b^2$, треугольник является прямоугольным.

Ответ: прямоугольный.

в)

Даны стороны треугольника: 5, 6 и 8. Наибольшая сторона $c = 8$, а две другие стороны $a = 5$ и $b = 6$.

Найдем квадрат наибольшей стороны: $c^2 = 8^2 = 64$.

Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$.

Сравним полученные значения: $64 > 61$.

Так как $c^2 > a^2 + b^2$, треугольник является тупоугольным.

Ответ: тупоугольный.