Номер 206, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

206. а) В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 2$ см, $BC = \sqrt{7}$ см, $AC = 3$ см.

Найдите градусную меру угла $A$.

б) В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 3$ см, $BC = 5$ см, $AC = 7$ см.

Найдите градусную меру угла $B$.

а) Для нахождения градусной меры угла A в треугольнике ABC воспользуемся теоремой косинусов. Согласно этой теореме, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для стороны BC, противолежащей углу A, формула выглядит так:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A)$

Подставим в формулу известные значения сторон: $AB = 2$ см, $BC = \sqrt{7}$ см, $AC = 3$ см.

$(\sqrt{7})^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos(A)$

Выполним вычисления:

$7 = 4 + 9 - 12 \cdot \cos(A)$

$7 = 13 - 12 \cdot \cos(A)$

Теперь выразим $\cos(A)$ из полученного уравнения:

$12 \cdot \cos(A) = 13 - 7$

$12 \cdot \cos(A) = 6$

$\cos(A) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$ — это $60^\circ$. Следовательно, градусная мера угла A равна $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

б) Для нахождения градусной меры угла B в треугольнике ABC также воспользуемся теоремой косинусов. На этот раз формула будет для стороны AC, противолежащей углу B:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(B)$

Подставим известные значения сторон: $AB = 3$ см, $BC = 5$ см, $AC = 7$ см.

$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(B)$

Выполним вычисления:

$49 = 9 + 25 - 30 \cdot \cos(B)$

$49 = 34 - 30 \cdot \cos(B)$

Теперь выразим $\cos(B)$ из уравнения:

$30 \cdot \cos(B) = 34 - 49$

$30 \cdot \cos(B) = -15$

$\cos(B) = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$, в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$ — это $120^\circ$. Следовательно, градусная мера угла B равна $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.