Номер 199, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

199. В треугольнике $ABC$ ($\angle C$ — острый) стороны $AC = 5$ см, $BC = 7$ см, $\sin C = 0,6$. Найдите длину стороны $AB$.

Для нахождения длины стороны $AB$ воспользуемся теоремой косинусов, которая для треугольника $ABC$ записывается в виде:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C$

В условии даны длины сторон $AC = 5$ см, $BC = 7$ см и значение синуса угла $C$: $\sin C = 0,6$. Для применения теоремы косинусов нам необходимо найти значение $\cos C$.

Используем основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$

Выразим из него $\cos^2 C$:

$\cos^2 C = 1 - \sin^2 C$

Подставим известное значение $\sin C = 0,6$:

$\cos^2 C = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$

Отсюда $\cos C = \sqrt{0,64}$ или $\cos C = -\sqrt{0,64}$.

По условию задачи угол $C$ является острым, а косинус острого угла положителен. Следовательно, выбираем значение $\cos C = \sqrt{0,64} = 0,8$.

Теперь подставим все известные значения в формулу теоремы косинусов для нахождения $AB^2$:

$AB^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 0,8$

Произведем вычисления:

$AB^2 = 25 + 49 - 70 \cdot 0,8$

$AB^2 = 74 - 56$

$AB^2 = 18$

Чтобы найти длину стороны $AB$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$AB = \sqrt{18}$

Упростим корень:

$AB = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

Таким образом, длина стороны $AB$ равна $3\sqrt{2}$ см.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.