Номер 198, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

198. В треугольнике $MNK$ стороны $MK = 4$ см, $NK = 6$ см, $\cos K = \frac{2}{3}$.

Найдите длину стороны $MN$.

Для нахождения длины стороны MN в треугольнике MNK воспользуемся теоремой косинусов. Согласно этой теореме, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для стороны MN, которая лежит напротив угла K, формула выглядит следующим образом:
$MN^2 = MK^2 + NK^2 - 2 \cdot MK \cdot NK \cdot \cos K$

Подставим в формулу известные значения из условия задачи: $MK = 4$ см, $NK = 6$ см и $\cos K = \frac{2}{3}$.
$MN^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{2}{3}$

Теперь выполним вычисления:
$MN^2 = 16 + 36 - \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 2}{3}$
$MN^2 = 52 - \frac{96}{3}$
$MN^2 = 52 - 32$
$MN^2 = 20$

Чтобы найти длину стороны MN, извлечем квадратный корень из полученного значения:
$MN = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$ см.

Ответ: $2\sqrt{5}$ см.