Номер 205, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

205. В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Найдите длину стороны AB, если:

a) $\angle C = 90^\circ$, $OA = \sqrt{2}$, $OB = 3$ (рис. 174, а);

б) $\angle AOB = 150^\circ$, $AC = 3$, $BC = 4$ (рис. 174, б).

Рис. 174

а)

Поскольку окружность вписана в треугольник $ABC$, ее центр $O$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, $AO$ и $BO$ — биссектрисы углов $A$ и $B$ соответственно.

Это означает, что $∠OAB = \frac{1}{2}∠CAB$ и $∠OBA = \frac{1}{2}∠CBA$.

Рассмотрим сумму углов в треугольнике $AOB$:
$∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°$
$∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - \frac{1}{2}(∠CAB + ∠CBA)$

По условию, треугольник $ABC$ прямоугольный, $∠C = 90°$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$, то есть $∠CAB + ∠CBA = 90°$.

Подставим это значение в формулу для угла $∠AOB$:
$∠AOB = 180° - \frac{1}{2}(90°) = 180° - 45° = 135°$.

Теперь в треугольнике $AOB$ известны две стороны $OA = \sqrt{2}$, $OB = 3$ и угол между ними $∠AOB = 135°$. Можем найти сторону $AB$ по теореме косинусов:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(∠AOB)$
$AB^2 = (\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 \cdot \cos(135°)$
Так как $\cos(135°) = -\cos(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$AB^2 = 2 + 9 - 6\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$AB^2 = 11 + \frac{6 \cdot 2}{2}$
$AB^2 = 11 + 6 = 17$
$AB = \sqrt{17}$

Ответ: $\sqrt{17}$

б)

Центр вписанной окружности $O$ — точка пересечения биссектрис. Значит, $AO$ — биссектриса угла $A$, а $BO$ — биссектриса угла $B$.

$∠OAB = \frac{1}{2}∠A$, $∠OBA = \frac{1}{2}∠B$.

Из суммы углов треугольника $AOB$ имеем:

$∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - \frac{∠A + ∠B}{2}$.

По условию $∠AOB = 150°$. Подставим это значение:

$150° = 180° - \frac{∠A + ∠B}{2}$
$\frac{∠A + ∠B}{2} = 180° - 150°$
$\frac{∠A + ∠B}{2} = 30°$
$∠A + ∠B = 60°$

Теперь найдем угол $C$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов треугольника равна $180°$:

$∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 60° = 120°$.

В треугольнике $ABC$ известны две стороны $AC = 3$, $BC = 4$ и угол между ними $∠C = 120°$. Чтобы найти сторону $AB$, применим теорему косинусов:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(∠C)$
$AB^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(120°)$
Так как $\cos(120°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2}$, получаем:
$AB^2 = 9 + 16 - 24 \cdot (-\frac{1}{2})$
$AB^2 = 25 + 12$
$AB^2 = 37$
$AB = \sqrt{37}$

Ответ: $\sqrt{37}$