Номер 204, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

204. В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 5$ см, $BC = 4\sqrt{2}$ см, $\angle C = 45^\circ$.

Найдите наименьшее возможное значение длины стороны $AC$.

Для нахождения длины стороны $AC$ воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим длину стороны $AC$ через $x$.

Теорема косинусов для стороны $AB$ в треугольнике $ABC$ записывается в виде:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

Подставим в эту формулу известные нам значения из условия задачи: $AB = 5$ см, $BC = 4\sqrt{2}$ см, $\angle C = 45^\circ$.

$5^2 = x^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot x \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$

Теперь произведем вычисления. Значение косинуса угла $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$25 = x^2 + 16 \cdot 2 - 8\sqrt{2} \cdot x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$25 = x^2 + 32 - 8x \cdot \frac{(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{2}$

$25 = x^2 + 32 - 8x \cdot \frac{2}{2}$

$25 = x^2 + 32 - 8x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 8x + 32 - 25 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$ (длины стороны $AC$). Решим его, чтобы найти возможные значения длины $AC$. Это уравнение можно решить по теореме Виета или через дискриминант.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 7$. Легко видеть, что корнями являются числа 1 и 7.

Также можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 6}{2}$

Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Таким образом, существуют два возможных значения для длины стороны $AC$: 1 см и 7 см. Оба значения приводят к корректным треугольникам, удовлетворяющим заданным условиям.

Согласно условию задачи, требуется найти наименьшее возможное значение длины стороны $AC$. Сравнивая два найденных значения, $1 < 7$, мы выбираем меньшее.

Ответ: 1 см.