Номер 201, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

201. Диагонали параллелограмма равны 8 см и 14 см, косинус остро- го угла между ними равен $ \frac{2}{7} $. Найдите периметр параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм со сторонами $a$ и $b$. Его диагонали, согласно условию, равны $d_1 = 8$ см и $d_2 = 14$ см. Косинус острого угла $\alpha$ между диагоналями равен $\cos(\alpha) = \frac{2}{7}$.

Важным свойством параллелограмма является то, что его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Эта точка делит параллелограмм на четыре треугольника. Для нахождения сторон параллелограмма $a$ и $b$ мы рассмотрим два смежных треугольника.

Половины диагоналей будут иметь длины $\frac{d_1}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см и $\frac{d_2}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.

Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей и одной из сторон параллелограмма (пусть это будет сторона $a$). Стороны этого треугольника равны 4 см, 7 см, а угол между ними — это острый угол $\alpha$, косинус которого нам известен. Применим теорему косинусов:
$a^2 = 4^2 + 7^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cos(\alpha)$
Подставляем известные значения:
$a^2 = 16 + 49 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \frac{2}{7}$
$a^2 = 65 - 56 \cdot \frac{2}{7}$
$a^2 = 65 - 8 \cdot 2$
$a^2 = 65 - 16 = 49$
$a = \sqrt{49} = 7$ см.

Теперь рассмотрим смежный треугольник, который включает в себя вторую сторону параллелограмма, $b$. Его стороны также образованы половинами диагоналей (4 см и 7 см), но угол между ними будет тупым. Обозначим его $\beta$. Углы $\alpha$ и $\beta$ смежные, поэтому $\beta = 180^\circ - \alpha$. Косинус тупого угла связан с косинусом смежного острого угла соотношением $\cos(\beta) = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Таким образом, $\cos(\beta) = -\frac{2}{7}$.

Снова применяем теорему косинусов для нахождения стороны $b$:
$b^2 = 4^2 + 7^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cos(\beta)$
$b^2 = 16 + 49 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot (-\frac{2}{7})$
$b^2 = 65 + 56 \cdot \frac{2}{7}$
$b^2 = 65 + 8 \cdot 2$
$b^2 = 65 + 16 = 81$
$b = \sqrt{81} = 9$ см.

Мы нашли длины сторон параллелограмма: $a = 7$ см и $b = 9$ см. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.
$P = 2(7 + 9) = 2(16) = 32$ см.

Ответ: 32 см.