Номер 202, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

202. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM = 9$ см и $BK = 6$ см, которые пересекаются в точке $E$, $\angle MEK = 120^\circ$. Найдите сторо-

ну $AB$ треугольника $ABC$.

По свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Точка $E$ является точкой пересечения медиан $AM$ и $BK$. Следовательно, мы можем найти длины отрезков $AE$ и $BE$.

Длина отрезка $AE$ составляет $\frac{2}{3}$ от длины медианы $AM$:
$AE = \frac{2}{3} \cdot AM = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ см.

Длина отрезка $BE$ составляет $\frac{2}{3}$ от длины медианы $BK$:
$BE = \frac{2}{3} \cdot BK = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ см.

Рассмотрим углы $\angle MEK$ и $\angle AEB$. Эти углы являются вертикальными, поэтому они равны:

$\angle AEB = \angle MEK = 120^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABE$. В нем известны две стороны ($AE=6$ см, $BE=4$ см) и угол между ними ($\angle AEB = 120^\circ$). Чтобы найти третью сторону $AB$, воспользуемся теоремой косинусов:

$AB^2 = AE^2 + BE^2 - 2 \cdot AE \cdot BE \cdot \cos(\angle AEB)$.

Подставим известные значения в формулу:

$AB^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos(120^\circ)$.

Так как $\cos(120^\circ) = -0.5$, получим:

$AB^2 = 36 + 16 - 48 \cdot (-\frac{1}{2})$
$AB^2 = 52 + 24$
$AB^2 = 76$.

Отсюда находим длину стороны $AB$:

$AB = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$ см.

Ответ: $2\sqrt{19}$ см.