Номер 209, страница 114 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

209. а) Периметр треугольника $ABC$ равен 18. Вычислите его площадь по данным на рисунке 175.

б) Угол $ABC$ параллелограмма $ABCD$ равен $120^\circ$. Вычислите периметр параллелограмма по данным на рисунке 176.

Рис. 175

Рис. 176

а)

Дано: треугольник $ABC$, периметр $P_{ABC} = 18$. Из рисунка 175 известны сторона $BC = 7$ и угол $\angle A = 60^\circ$. Обозначим стороны $AB=c$ и $AC=b$.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC = c + 7 + b$.

По условию $P_{ABC} = 18$, следовательно, $b + c + 7 = 18$, откуда $b + c = 11$.

Для нахождения площади воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $ABC$. Теорема косинусов гласит: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.

Подставим известные значения: $BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2(AC)(AB)\cos(\angle A)$, то есть $7^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos 60^\circ$.

Так как $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, уравнение принимает вид:

$49 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \frac{1}{2}$

$49 = b^2 + c^2 - bc$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $b + c = 11$
2) $b^2 + c^2 - bc = 49$

Возведем первое уравнение в квадрат: $(b + c)^2 = 11^2$, что дает $b^2 + 2bc + c^2 = 121$.

Из второго уравнения выразим $b^2 + c^2 = 49 + bc$.

Подставим это выражение в результат возведения в квадрат:

$(49 + bc) + 2bc = 121$
$49 + 3bc = 121$
$3bc = 121 - 49$
$3bc = 72$
$bc = 24$

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} bc \sin A$.

Подставим наши значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \sin 60^\circ$.

Так как $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$.

Ответ: $6\sqrt{3}$

б)

Дано: параллелограмм $ABCD$. Из рисунка 176 известны сторона $AB = 3$, диагональ $AC = 7$ и угол $\angle ABC = 120^\circ$.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P_{ABCD} = 2(AB + BC)$. Нам нужно найти длину стороны $BC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем известны две стороны ($AB$ и $AC$) и угол между стороной $AB$ и искомой стороной $BC$. Мы можем применить теорему косинусов для этого треугольника, чтобы найти $BC$.

По теореме косинусов для $\triangle ABC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos(\angle ABC)$

Подставим известные значения:
$7^2 = 3^2 + BC^2 - 2(3)(BC)\cos(120^\circ)$

Значение косинуса $120^\circ$ равно $-\frac{1}{2}$. Подставим это в уравнение:
$49 = 9 + BC^2 - 6(BC)(-\frac{1}{2})$
$49 = 9 + BC^2 + 3BC$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$BC^2 + 3BC + 9 - 49 = 0$
$BC^2 + 3BC - 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $BC$. Можно использовать теорему Виета. Корнями уравнения являются числа $5$ и $-8$.

Так как длина стороны не может быть отрицательной, единственное подходящее решение - это $BC = 5$.

Теперь мы можем вычислить периметр параллелограмма:
$P_{ABCD} = 2(AB + BC) = 2(3 + 5) = 2(8) = 16$.

Ответ: 16