Номер 203, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

203. а) В треугольнике $ABC$ сторона $AC = 8\sqrt{3}$ см, $\angle C = 30^\circ$, $BC - AB = 4$ см. Вычислите длины сторон $AB$ и $BC$.

б) В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 2\sqrt{3}$ см, $\angle A = 60^\circ$, $AB : AC = 1 : 2$. Вычислите длины сторон $AB$ и $AC$.

а)

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $AB = c$, $BC = a$ и $AC = b$.

По условию задачи имеем:

$b = AC = 8\sqrt{3}$ см,

$\angle C = 30^{\circ}$,

$BC - AB = 4$ см, то есть $a - c = 4$, откуда $a = c + 4$.

Воспользуемся теоремой косинусов для стороны $AB$, которая противолежит углу $C$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle C)$

Подставим известные значения и выражения в формулу:

$c^2 = (c + 4)^2 + (8\sqrt{3})^2 - 2(c + 4)(8\sqrt{3}) \cos(30^{\circ})$

Зная, что $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, раскроем скобки и упростим уравнение:

$c^2 = (c^2 + 8c + 16) + (64 \cdot 3) - 2(c + 4)(8\sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2}$

$c^2 = c^2 + 8c + 16 + 192 - (c + 4) \cdot 8 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$

$c^2 = c^2 + 8c + 208 - (c + 4) \cdot 8 \cdot 3$

$c^2 = c^2 + 8c + 208 - 24(c + 4)$

$c^2 = c^2 + 8c + 208 - 24c - 96$

$c^2 = c^2 - 16c + 112$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы найти $c$:

$c^2 - c^2 + 16c - 112 = 0$

$16c = 112$

$c = \frac{112}{16}$

$c = 7$

Таким образом, длина стороны $AB = 7$ см.

Теперь найдем длину стороны $BC$:

$a = c + 4 = 7 + 4 = 11$ см.

Итак, $BC = 11$ см.

Ответ: $AB = 7$ см, $BC = 11$ см.

б)

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $AB = c$, $BC = a$ и $AC = b$.

По условию задачи имеем:

$a = BC = 2\sqrt{3}$ см,

$\angle A = 60^{\circ}$,

$AB : AC = 1 : 2$, то есть $c : b = 1 : 2$. Из этого соотношения выразим $b$ через $c$: $b = 2c$.

Воспользуемся теоремой косинусов для стороны $BC$, которая противолежит углу $A$:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\angle A)$

Подставим известные значения и выражения в формулу:

$(2\sqrt{3})^2 = (2c)^2 + c^2 - 2(2c)(c) \cos(60^{\circ})$

Зная, что $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, раскроем скобки и упростим уравнение:

$4 \cdot 3 = 4c^2 + c^2 - 4c^2 \cdot \frac{1}{2}$

$12 = 5c^2 - 2c^2$

$12 = 3c^2$

Решим уравнение относительно $c$:

$c^2 = \frac{12}{3}$

$c^2 = 4$

Поскольку длина стороны должна быть положительной, $c = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, длина стороны $AB = 2$ см.

Теперь найдем длину стороны $AC$:

$b = 2c = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Итак, $AC = 4$ см.

Ответ: $AB = 2$ см, $AC = 4$ см.