Номер 196, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

196. Используя теорему косинусов, найдите сторону $x$ (рис. $173$, а, б).

a) $x^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$

б) $x^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ)$

Рис. 173

а)

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. Согласно теореме косинусов, квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

В треугольнике ABC нам известны две стороны AB = 3, AC = 8 и угол между ними $\angle A = 60^\circ$. Нам нужно найти сторону BC, обозначенную как x.

Применим теорему косинусов для стороны BC:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения в формулу:

$x^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$

Выполним вычисления. Мы знаем, что $\cos(60^\circ) = 1/2$:

$x^2 = 9 + 64 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$

$x^2 = 73 - 48 \cdot \frac{1}{2}$

$x^2 = 73 - 24$

$x^2 = 49$

Чтобы найти x, извлечем квадратный корень из 49. Так как длина стороны — положительная величина, мы берем только положительное значение корня:

$x = \sqrt{49} = 7$

Ответ: $x=7$

б)

В треугольнике MNK нам известны стороны MN = 6, NK = 10 и угол между ними $\angle N = 120^\circ$. Требуется найти сторону MK, обозначенную как x.

Снова используем теорему косинусов для стороны MK:

$MK^2 = MN^2 + NK^2 - 2 \cdot MN \cdot NK \cdot \cos(\angle N)$

Подставим известные значения:

$x^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ)$

Для вычисления нам понадобится значение косинуса 120°. Используя формулу приведения: $\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -1/2$.

Продолжим вычисления:

$x^2 = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (-\frac{1}{2})$

$x^2 = 136 - 120 \cdot (-\frac{1}{2})$

$x^2 = 136 + 60$

$x^2 = 196$

Находим x, извлекая квадратный корень:

$x = \sqrt{196} = 14$

Ответ: $x=14$