Номер 210, страница 114 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

210. а) В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB = 3$ см, $AD = 4$ см, диагональ $AC = 6$ см. Найдите длину диагонали $BD$.

б) В параллелограмме $ABCD$ сторона $AB = 2\sqrt{6}$ см, диагонали $AC = 4$ см, $BD = 8$ см. Найдите длину стороны $AD$.

а) Для решения задачи используется свойство параллелограмма, связывающее длины его сторон и диагоналей. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, эту теорему можно записать в виде формулы: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали, а $a$ и $b$ — смежные стороны параллелограмма.

В нашем случае, для параллелограмма $ABCD$ формула будет выглядеть так: $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$.

Дано: $AB = 3$ см, $AD = 4$ см, $AC = 6$ см. Требуется найти $BD$.

Подставим известные значения в формулу:

$6^2 + BD^2 = 2(3^2 + 4^2)$

$36 + BD^2 = 2(9 + 16)$

$36 + BD^2 = 2(25)$

$36 + BD^2 = 50$

Выразим $BD^2$:

$BD^2 = 50 - 36$

$BD^2 = 14$

Отсюда находим длину диагонали $BD$:

$BD = \sqrt{14}$ см.

Ответ: $\sqrt{14}$ см.

б) Воспользуемся той же формулой, что и в пункте а): $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$.

Дано: $AB = 2\sqrt{6}$ см, $AC = 4$ см, $BD = 8$ см. Требуется найти $AD$.

Подставим известные значения в формулу:

$4^2 + 8^2 = 2((2\sqrt{6})^2 + AD^2)$

$16 + 64 = 2(4 \cdot 6 + AD^2)$

$80 = 2(24 + AD^2)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$40 = 24 + AD^2$

Выразим $AD^2$:

$AD^2 = 40 - 24$

$AD^2 = 16$

Отсюда находим длину стороны $AD$:

$AD = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.