Номер 217, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

217. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, $AB = BC = 1$, $CD = 2$, $AD = 3$. Найдите диагональ $BD$.

Пусть дан вписанный в окружность четырехугольник $ABCD$. Длины его сторон равны $AB = 1$, $BC = 1$, $CD = 2$ и $AD = 3$. Необходимо найти длину диагонали $BD$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Диагональ $BD$ делит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$.

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Применим к нему теорему косинусов для стороны $BD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения длин сторон $AB=1$ и $AD=3$:

$BD^2 = 1^2 + 3^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot \cos(\angle A)$

$BD^2 = 1 + 9 - 6 \cos(\angle A)$

$BD^2 = 10 - 6 \cos(\angle A)$

2. Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. Применим к нему теорему косинусов для стороны $BD$:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle C)$

Подставим известные значения длин сторон $BC=1$ и $CD=2$:

$BD^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos(\angle C)$

$BD^2 = 1 + 4 - 4 \cos(\angle C)$

$BD^2 = 5 - 4 \cos(\angle C)$

3. Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle A + \angle C = 180^\circ$. Из этого свойства тригонометрических функций следует, что $\cos(\angle C) = \cos(180^\circ - \angle A) = -\cos(\angle A)$.

Подставим это соотношение в уравнение для $BD^2$ из второго шага:

$BD^2 = 5 - 4(-\cos(\angle A)) = 5 + 4 \cos(\angle A)$

4. Теперь у нас есть два выражения для $BD^2$. Приравняем их, чтобы найти $\cos(\angle A)$:

$10 - 6 \cos(\angle A) = 5 + 4 \cos(\angle A)$

Перенесем слагаемые с $\cos(\angle A)$ в одну часть, а свободные члены в другую:

$10 - 5 = 4 \cos(\angle A) + 6 \cos(\angle A)$

$5 = 10 \cos(\angle A)$

$\cos(\angle A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

5. Наконец, подставим найденное значение $\cos(\angle A)$ в любое из выражений для $BD^2$. Используем выражение $BD^2 = 10 - 6 \cos(\angle A)$:

$BD^2 = 10 - 6 \cdot \frac{1}{2}$

$BD^2 = 10 - 3 = 7$

Отсюда находим длину диагонали $BD$:

$BD = \sqrt{7}$

Ответ: $\sqrt{7}$