Номер 222, страница 120 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

222. Стороны треугольника $a = 20$, $b = 13$, $c = 11$. Найдите:

а) полупериметр треугольника $p = \frac{a+b+c}{2}$;

б) значения выражений $p - a$, $p - b$, $p - c$;

в) площадь треугольника по формуле $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

а) Полупериметр треугольника $p$ — это половина его периметра. Вычислим его по указанной формуле, подставив значения сторон $a=20$, $b=13$ и $c=11$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{20+13+11}{2} = \frac{44}{2} = 22$.

Ответ: $p = 22$.

б) Теперь, зная полупериметр $p=22$, вычислим значения разностей:

$p-a = 22 - 20 = 2$

$p-b = 22 - 13 = 9$

$p-c = 22 - 11 = 11$

Ответ: $p-a=2$, $p-b=9$, $p-c=11$.

в) Для вычисления площади треугольника $S$ воспользуемся формулой Герона. Подставим в нее найденные ранее значения $p=22$, $p-a=2$, $p-b=9$ и $p-c=11$:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{22 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 11}$.

Упростим подкоренное выражение, чтобы извлечь корень:

$S = \sqrt{(2 \cdot 11) \cdot 2 \cdot 9 \cdot 11} = \sqrt{2^2 \cdot 11^2 \cdot 3^2} = \sqrt{(2 \cdot 11 \cdot 3)^2}$.

Извлекая корень, получаем площадь:

$S = 2 \cdot 11 \cdot 3 = 66$.

Ответ: $S=66$.