Номер 219, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

219. В треугольнике ABC $AC = b$, $AB = c$, $BC = a$, $\angle A = \alpha$. Докажите, что с увеличением угла A сторона $a$ увеличивается.

Для доказательства воспользуемся теоремой косинусов. В треугольнике $ABC$ стороны и углы связаны следующим соотношением:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\angle A)$

Подставим известные нам обозначения:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$

В этом выражении длины сторон $b$ и $c$ являются постоянными положительными величинами. Сторона $a$ зависит от угла $\alpha$. Поскольку $a$ — это длина стороны, то $a > 0$. Зависимость $a$ от $\alpha$ будет такой же, как зависимость $a^2$ от $\alpha$. Если $a^2$ увеличивается, то и $a$ увеличивается.

Рассмотрим, как изменяется $a^2$ при увеличении угла $\alpha$. Угол $\alpha$ является углом треугольника, поэтому его значения лежат в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$ или $(0, \pi)$ в радианах.

Проанализируем функцию $f(\alpha) = \cos(\alpha)$ на интервале $(0^\circ, 180^\circ)$. На этом интервале функция косинуса является монотонно убывающей. Это означает, что если мы возьмем два угла $\alpha_1$ и $\alpha_2$ из этого интервала так, что $\alpha_1 < \alpha_2$, то для их косинусов будет выполняться неравенство $\cos(\alpha_1) > \cos(\alpha_2)$.

Теперь рассмотрим выражение для $a^2$. Пусть $\alpha$ увеличивается, то есть мы переходим от меньшего угла $\alpha_1$ к большему углу $\alpha_2$, где $0^\circ < \alpha_1 < \alpha_2 < 180^\circ$.

Поскольку $\alpha_1 < \alpha_2$, то $\cos(\alpha_1) > \cos(\alpha_2)$.

Умножим обе части неравенства на $-2bc$. Так как $b > 0$ и $c > 0$, то $-2bc$ — отрицательное число, и знак неравенства изменится на противоположный:

$-2bc \cos(\alpha_1) < -2bc \cos(\alpha_2)$

Теперь прибавим к обеим частям неравенства постоянную величину $b^2 + c^2$:

$b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha_1) < b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha_2)$

Левая часть этого неравенства есть $a_1^2$ (квадрат стороны, соответствующей углу $\alpha_1$), а правая часть — $a_2^2$ (квадрат стороны, соответствующей углу $\alpha_2$). Таким образом, мы получили:

$a_1^2 < a_2^2$

Так как длины сторон $a_1$ и $a_2$ являются положительными числами, из этого неравенства следует, что $a_1 < a_2$.

Это доказывает, что при увеличении угла $A$ (то есть $\alpha$) соответствующая противолежащая сторона $a$ также увеличивается.

Ответ: Утверждение доказано с помощью теоремы косинусов, показав, что функция $a(\alpha) = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)}$ является возрастающей на интервале $\alpha \in (0^\circ, 180^\circ)$.