Номер 233, страница 126 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

233. Докажите, что если $m_a$, $m_b$ и $m_c$ — медианы треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, то справедливы следующие формулы:

a) $a = \frac{2}{3}\sqrt{2m_b^2 + 2m_c^2 - m_a^2}$;

б) $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$.

Для доказательства обеих формул воспользуемся известной формулой, связывающей длину медианы треугольника с длинами его сторон. Длина медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$, выражается через стороны $a, b, c$ следующим образом:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

Аналогично для двух других медиан:

$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$

$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$

Эти формулы являются следствием теоремы косинусов (или теоремы Аполлония) и будут использованы для доказательства.

a) Нам нужно доказать, что $a = \frac{2}{3}\sqrt{2m_b^2 + 2m_c^2 - m_a^2}$.

Для доказательства преобразуем выражение под корнем в правой части равенства, подставив в него формулы для квадратов медиан:

$2m_b^2 + 2m_c^2 - m_a^2 = 2\left(\frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}\right) + 2\left(\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}\right) - \left(\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}\right)$

Упростим коэффициенты и приведем все к общему знаменателю 4:

$\frac{2(2a^2 + 2c^2 - b^2)}{4} + \frac{2(2a^2 + 2b^2 - c^2)}{4} - \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

Объединим числители:

$\frac{(4a^2 + 4c^2 - 2b^2) + (4a^2 + 4b^2 - 2c^2) - (2b^2 + 2c^2 - a^2)}{4}$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$\frac{4a^2 + 4c^2 - 2b^2 + 4a^2 + 4b^2 - 2c^2 - 2b^2 - 2c^2 + a^2}{4} = \frac{(4a^2+4a^2+a^2) + (-2b^2+4b^2-2b^2) + (4c^2-2c^2-2c^2)}{4}$

$\frac{9a^2 + 0 \cdot b^2 + 0 \cdot c^2}{4} = \frac{9a^2}{4}$

Теперь подставим полученный результат в исходную формулу:

$a = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{9a^2}{4}}$

Извлечем корень:

$a = \frac{2}{3} \cdot \frac{3a}{2}$

$a = a$

Тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Нам нужно доказать, что $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$.

Сложим левые и правые части трех формул для квадратов медиан:

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \left(\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}\right) + \left(\frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}\right) + \left(\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}\right)$

Так как знаменатель общий, сложим числители:

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{(2b^2 + 2c^2 - a^2) + (2a^2 + 2c^2 - b^2) + (2a^2 + 2b^2 - c^2)}{4}$

Сгруппируем подобные слагаемые в числителе:

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{(-a^2 + 2a^2 + 2a^2) + (2b^2 - b^2 + 2b^2) + (2c^2 + 2c^2 - c^2)}{4}$

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3a^2 + 3b^2 + 3c^2}{4}$

Вынесем общий множитель 3 в числителе:

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3(a^2 + b^2 + c^2)}{4} = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$

Формула доказана.

Ответ: Что и требовалось доказать.