Номер 237, страница 127 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

237. В треугольнике $ABC$ проведен отрезок $AK$, где $K \in BC$. Используя теорему Стюарта, выразите длину отрезка $AK$ через отрезки $AB$, $AC$, $BK$ и $CK$. Вычислите длину отрезка $AK$, если $AB = 6$, $AC = 9$, $BK = 2$, $KC = 4$.

Выражение длины отрезка АК через отрезки АВ, АС, ВК и СК

Теорема Стюарта для треугольника $ABC$ и отрезка (чевианы) $AK$, где точка $K$ лежит на стороне $BC$, утверждает, что длины сторон и отрезков связаны следующим соотношением:

$AB^2 \cdot CK + AC^2 \cdot BK = BC \cdot (AK^2 + BK \cdot CK)$.

Поскольку точка $K$ лежит на отрезке $BC$, то $BC = BK + CK$. Подставим это выражение для $BC$ в формулу теоремы Стюарта:

$AB^2 \cdot CK + AC^2 \cdot BK = (BK + CK) \cdot (AK^2 + BK \cdot CK)$.

Теперь выразим из этого уравнения $AK^2$. Сначала разделим обе части на $(BK + CK)$:

$AK^2 + BK \cdot CK = \frac{AB^2 \cdot CK + AC^2 \cdot BK}{BK + CK}$.

Затем перенесем произведение $BK \cdot CK$ в правую часть уравнения:

$AK^2 = \frac{AB^2 \cdot CK + AC^2 \cdot BK}{BK + CK} - BK \cdot CK$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем искомое выражение для длины отрезка $AK$.

Ответ: $AK = \sqrt{\frac{AB^2 \cdot CK + AC^2 \cdot BK}{BK + CK} - BK \cdot CK}$

Вычисление длины отрезка АК

Подставим в полученную формулу заданные значения длин отрезков: $AB = 6$, $AC = 9$, $BK = 2$ и $KC = 4$.

Сначала вычислим значение $AK^2$:

$AK^2 = \frac{6^2 \cdot 4 + 9^2 \cdot 2}{2 + 4} - 2 \cdot 4$

$AK^2 = \frac{36 \cdot 4 + 81 \cdot 2}{6} - 8$

$AK^2 = \frac{144 + 162}{6} - 8$

$AK^2 = \frac{306}{6} - 8$

$AK^2 = 51 - 8$

$AK^2 = 43$

Следовательно, длина отрезка $AK$ равна $\sqrt{43}$.

Ответ: $AK = \sqrt{43}$