Номер 235, страница 126 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

235. В треугольник вписана окружность радиусом 2, которая точкой касания делит одну из его сторон на отрезки, равные 1 и 6. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан треугольник, в который вписана окружность с радиусом $r=2$. Пусть точка касания делит одну из его сторон на отрезки длиной 1 и 6. Обозначим эту сторону как $a$. Тогда ее длина равна $a = 1 + 6 = 7$.

Воспользуемся свойством касательных к окружности, проведенных из одной точки. Отрезки касательных от вершины треугольника до точек касания равны. Обозначим отрезки, на которые точки касания делят две другие стороны, как $x$ и $y$. В нашем случае, отрезки от двух других вершин до точек касания будут равны 1 и 6. Пусть третья пара равных отрезков равна $x$.

Тогда стороны треугольника будут равны:

$a = 1 + 6 = 7$

$b = 6 + x$

$c = 1 + x$

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон:

$P = a + b + c = 7 + (6+x) + (1+x) = 14 + 2x$.

Полупериметр $p$ равен половине периметра:

$p = \frac{P}{2} = \frac{14 + 2x}{2} = 7 + x$.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить по двум формулам.

1. Через радиус вписанной окружности: $S = p \cdot r$.

Подставим наши значения: $S = (7+x) \cdot 2 = 14 + 2x$.

2. По формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Найдем разности полупериметра и сторон:

$p - a = (7+x) - 7 = x$

$p - b = (7+x) - (6+x) = 1$

$p - c = (7+x) - (1+x) = 6$

Подставим эти значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{(7+x) \cdot x \cdot 1 \cdot 6} = \sqrt{6x(7+x)}$.

Теперь приравняем два полученных выражения для площади:

$14 + 2x = \sqrt{6x(7+x)}$

Вынесем 2 за скобки в левой части:

$2(7+x) = \sqrt{6x(7+x)}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2(7+x))^2 = (\sqrt{6x(7+x)})^2$

$4(7+x)^2 = 6x(7+x)$

Поскольку $x$ является длиной отрезка, $x>0$, и, следовательно, $7+x \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $7+x$:

$4(7+x) = 6x$

$28 + 4x = 6x$

$28 = 6x - 4x$

$28 = 2x$

$x = 14$

Теперь, зная $x$, мы можем найти периметр треугольника:

$P = 14 + 2x = 14 + 2 \cdot 14 = 14 + 28 = 42$.

Ответ: 42.