Номер 239, страница 127 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

239. Медиана треугольника равна $m_a$ и образует с соседними сторонами $b$ и $c$ углы $\beta_1$ и $\gamma_1$ соответственно. Найдите стороны $b$ и $c$.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ к стороне $BC$. По условию, длина медианы $AM = m_a$. Стороны, прилежащие к вершине $A$, равны $AC = b$ и $AB = c$. Медиана $AM$ образует с этими сторонами углы $\angle CAM = \beta_1$ и $\angle BAM = \gamma_1$.

Для решения задачи воспользуемся методом удвоения медианы. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на ее собственную длину до точки $D$, так что $MD = AM = m_a$. В результате получим отрезок $AD$ длиной $2m_a$.

Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$. По нашему построению, точка $M$ также является серединой отрезка $AD$. Поскольку диагонали четырехугольника $ABDC$ пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам, данный четырехугольник является параллелограммом.

В параллелограмме $ABDC$ противоположные стороны равны, следовательно, $CD = AB = c$ и $BD = AC = b$. Также, из-за параллельности противоположных сторон, накрест лежащие углы при секущих равны. При секущей $AD$ для параллельных прямых $AC$ и $BD$ имеем $\angle BDA = \angle CAM = \beta_1$. Для параллельных прямых $AB$ и $CD$ имеем $\angle CDA = \angle BAM = \gamma_1$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Нам известны две его стороны в виде переменных и одна в виде известных величин: $AC=b$, $CD=c$ и $AD=2m_a$. Также нам известны два угла, прилежащие к стороне $AD$: $\angle CAD = \beta_1$ и $\angle CDA = \gamma_1$. Третий угол треугольника $\angle ACD$ равен $180^\circ - (\beta_1 + \gamma_1)$.

Применим к треугольнику $ACD$ теорему синусов:

$ \frac{AC}{\sin(\angle CDA)} = \frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)} $

Подставим в это соотношение известные нам значения:

$ \frac{b}{\sin(\gamma_1)} = \frac{c}{\sin(\beta_1)} = \frac{2m_a}{\sin(180^\circ - (\beta_1 + \gamma_1))} $

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$, получаем:

$ \frac{b}{\sin(\gamma_1)} = \frac{c}{\sin(\beta_1)} = \frac{2m_a}{\sin(\beta_1 + \gamma_1)} $

Из этого общего равенства мы можем выразить искомые стороны $b$ и $c$.

Ответ: $b = \frac{2m_a \sin(\gamma_1)}{\sin(\beta_1 + \gamma_1)}$, $c = \frac{2m_a \sin(\beta_1)}{\sin(\beta_1 + \gamma_1)}$.