Номер 244, страница 127 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

244. В параллелограмме $ABCD$ известно: $AD = a$, $AB = b$, $\angle A = \alpha$.

а) Найдите диагонали $BD = d_1$ и $AC = d_2$ параллелограмма ($d_1 < d_2$)

и синус угла $\varphi$ между диагоналями.

б) Решите задачу а) при условии, что $a = 2$, $b = 1$, $\angle A = 60^\circ$.

а) Для нахождения длин диагоналей параллелограмма $ABCD$ воспользуемся теоремой косинусов.

Рассмотрим треугольник $ABD$. По теореме косинусов:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$

$BD^2 = b^2 + a^2 - 2ab \cos(\alpha)$

Рассмотрим треугольник $ABC$. Угол $\angle B = 180^\circ - \alpha$. Сторона $BC = AD = a$. По теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = b^2 + a^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha) = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$

В условии задано, что $BD = d_1$, $AC = d_2$ и $d_1 < d_2$. Сравнение выражений для $BD^2$ и $AC^2$ показывает, что $BD < AC$ только если $\cos(\alpha) > 0$, то есть угол $\alpha$ является острым.

Таким образом, длины диагоналей:

$d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)}$

$d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)}$

Для нахождения синуса угла $\phi$ между диагоналями воспользуемся двумя формулами для площади параллелограмма.

1. Через стороны и угол между ними: $S = ab \sin(\alpha)$.

2. Через диагонали и угол между ними: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\phi)$.

Приравнивая правые части, получаем $ab \sin(\alpha) = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\phi)$, откуда $\sin(\phi) = \frac{2ab \sin(\alpha)}{d_1 d_2}$.

Подставим найденные выражения для $d_1$ и $d_2$:

$d_1 d_2 = \sqrt{(a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha))(a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha))} = \sqrt{(a^2+b^2)^2 - (2ab\cos\alpha)^2} = \sqrt{a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2\cos^2\alpha}$.

Тогда синус угла $\phi$ равен:

$\sin(\phi) = \frac{2ab \sin(\alpha)}{\sqrt{(a^2+b^2)^2 - 4a^2b^2\cos^2\alpha}}$.

Можно также получить более изящное выражение. Известно, что $d_1 d_2 \cos(\phi) = a^2 - b^2$ (если $\phi$ - угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$) и $d_1 d_2 \sin(\phi) = 2ab \sin(\alpha)$. Возведя оба равенства в квадрат и сложив, получим $(d_1 d_2)^2 = (a^2-b^2)^2 + (2ab\sin\alpha)^2$. Отсюда $\sin(\phi) = \frac{2ab\sin\alpha}{\sqrt{(a^2-b^2)^2+4a^2b^2\sin^2\alpha}}$.
Ответ: $d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)}$, $d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)}$, $\sin(\phi) = \frac{2ab \sin(\alpha)}{\sqrt{(a^2+b^2)^2 - 4a^2b^2\cos^2\alpha}}$.

б) Используем формулы, полученные в пункте а), подставив в них значения $a = 2$, $b = 1$ и $\alpha = 60^\circ$.

Значения тригонометрических функций: $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ и $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вычислим длины диагоналей:

$d_1 = \sqrt{2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ)} = \sqrt{4 + 1 - 4 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{5 - 2} = \sqrt{3}$.

$d_2 = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ)} = \sqrt{4 + 1 + 4 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{5 + 2} = \sqrt{7}$.

Теперь вычислим синус угла $\phi$ между диагоналями, используя простую формулу $\sin(\phi) = \frac{2ab \sin(\alpha)}{d_1 d_2}$:

$\sin(\phi) = \frac{2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sin(60^\circ)}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$.
Ответ: $d_1 = \sqrt{3}$, $d_2 = \sqrt{7}$, $\sin(\phi) = \frac{2\sqrt{7}}{7}$.