Номер 2, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

2. Найдите радиус $R$ (рис. а), угол $\alpha$ (рис. б) и сторону $a$ (рис. в).

a) $R - ?$

4

$30^\circ$

$R$

б) $\alpha - ?$

$4\sqrt{2}$

$\alpha$

4

в) $a - ?$

$120^\circ$

$a$

$2\sqrt{3}$

а) Для нахождения радиуса R описанной окружности воспользуемся обобщенной теоремой синусов. Согласно этой теореме, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

В данном случае нам дана сторона треугольника $a = 4$ и противолежащий ей вписанный угол $\alpha = 30°$. Подставим эти значения в формулу:

$ \frac{4}{\sin 30°} = 2R $

Значение синуса 30 градусов равно $\sin 30° = \frac{1}{2}$.

$ \frac{4}{\frac{1}{2}} = 2R $

$ 4 \cdot 2 = 2R $

$ 8 = 2R $

Отсюда находим радиус R:

$ R = \frac{8}{2} = 4 $

Ответ: $R = 4$.

б) Для нахождения угла $\alpha$ воспользуемся обобщенной теоремой синусов. Из рисунка видно, что радиус описанной окружности $R = 4$. Сторона, лежащая напротив угла $\alpha$, равна $4\sqrt{2}$.

Теорема синусов гласит:

$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

Подставим известные значения: сторона $a = 4\sqrt{2}$ и радиус $R = 4$.

$ \frac{4\sqrt{2}}{\sin \alpha} = 2 \cdot 4 $

$ \frac{4\sqrt{2}}{\sin \alpha} = 8 $

Выразим $\sin \alpha$:

$ \sin \alpha = \frac{4\sqrt{2}}{8} $

$ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Это значение синуса соответствует двум углам: $45°$ и $135°$. Поскольку на рисунке угол $\alpha$ является острым, мы выбираем значение $45°$.

Ответ: $\alpha = 45°$.

в) Для нахождения стороны $a$ воспользуемся обобщенной теоремой синусов. Нам известен радиус описанной окружности $R = 2\sqrt{3}$ и угол, противолежащий стороне $a$, который равен $120°$.

Согласно теореме синусов:

$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

Подставим известные значения: угол $\alpha = 120°$ и радиус $R = 2\sqrt{3}$.

$ \frac{a}{\sin 120°} = 2 \cdot (2\sqrt{3}) $

$ \frac{a}{\sin 120°} = 4\sqrt{3} $

Найдем значение $\sin 120°$. Используя формулу приведения, получаем: $\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

$ \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} $

Выразим $a$:

$ a = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ a = \frac{4 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} $

$ a = \frac{12}{2} = 6 $

Ответ: $a = 6$.