Номер 247, страница 134 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

247. Изобразите правильный восьмиугольник $A_1A_2A_3...A_8$, «отрезав» у квадрата уголки. Отметьте центр $O$ этого многоугольника. Найдите $\angle A_1OA_2$, $\angle A_1A_2O$, $\angle A_1A_2A_3$. В ответе запишите градусную меру $\angle A_1A_2A_3$.

Правильный восьмиугольник $A_1A_2...A_8$ — это многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Его центр $O$ — это точка, равноудаленная от всех его вершин. Задачи такого типа решаются с использованием свойств правильных многоугольников, вписанных в окружность.

$\angle A_1OA_2$
Угол $\angle A_1OA_2$ является центральным углом правильного восьмиугольника, опирающимся на сторону $A_1A_2$. Полный угол вокруг центра $O$ составляет $360^\circ$. Поскольку восьмиугольник имеет 8 равных сторон, он также имеет 8 равных центральных углов. Величина одного такого угла равна:
$\angle A_1OA_2 = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$
Ответ: $45^\circ$.

$\angle A_1A_2O$
Рассмотрим треугольник $\triangle A_1OA_2$. Так как $O$ — центр правильного восьмиугольника, отрезки $OA_1$ и $OA_2$ равны как радиусы описанной окружности. Следовательно, треугольник $\triangle A_1OA_2$ является равнобедренным с основанием $A_1A_2$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1$. Искомый угол $\angle A_1A_2O$ — это угол $\angle OA_2A_1$. Зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, можем его найти:
$\angle A_1A_2O = \frac{180^\circ - \angle A_1OA_2}{2} = \frac{180^\circ - 45^\circ}{2} = \frac{135^\circ}{2} = 67.5^\circ$
Ответ: $67.5^\circ$.

$\angle A_1A_2A_3$
Угол $\angle A_1A_2A_3$ — это внутренний угол правильного восьмиугольника. Величину внутреннего угла любого правильного n-угольника можно найти по формуле $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для восьмиугольника, где $n=8$:
$\angle A_1A_2A_3 = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ$
Также этот угол можно найти, используя предыдущий результат. Луч $OA_2$ является биссектрисой угла $\angle A_1A_2A_3$, так как треугольники $\triangle A_1OA_2$ и $\triangle A_3OA_2$ равны. Поэтому $\angle A_1A_2A_3 = 2 \cdot \angle A_1A_2O = 2 \cdot 67.5^\circ = 135^\circ$.
Ответ: $135^\circ$.

В условии задачи требуется в ответе записать градусную меру $\angle A_1A_2A_3$.
Ответ: 135