Номер 1, страница 129 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

1. Найдите длину стороны $x$.

a) $x$

$4\sqrt{3}$

$60^\circ$

$45^\circ$

б) $x$

$105^\circ$

$45^\circ$

$3\sqrt{2}$

в) параллелограмм

$x$

$6$

$30^\circ$

$45^\circ$

а)

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон и углов этого треугольника.
Формула теоремы синусов: $a / \sin(A) = b / \sin(B) = c / \sin(C)$.
В данном треугольнике сторона $x$ лежит напротив угла $45°$, а сторона $4\sqrt{3}$ лежит напротив угла $60°$.
Составим пропорцию согласно теореме синусов:
$x / \sin(45°) = 4\sqrt{3} / \sin(60°)$
Выразим $x$:
$x = (4\sqrt{3} \cdot \sin(45°)) / \sin(60°)$
Значения синусов для данных углов: $\sin(45°) = \sqrt{2}/2$ и $\sin(60°) = \sqrt{3}/2$.
Подставим эти значения в формулу:
$x = (4\sqrt{3} \cdot (\sqrt{2}/2)) / (\sqrt{3}/2)$
$x = (2\sqrt{6}) / (\sqrt{3}/2)$
$x = (2\sqrt{6} \cdot 2) / \sqrt{3}$
$x = 4\sqrt{6} / \sqrt{3}$
$x = 4\sqrt{6/3}$
$x = 4\sqrt{2}$
Ответ: $4\sqrt{2}$

б)

Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. В заданном треугольнике известны два угла: $105°$ и $45°$. Найдем третий угол, который лежит напротив стороны $x$.
Третий угол = $180° - 105° - 45° = 30°$.
Теперь, зная все углы, можем применить теорему синусов. Сторона $x$ лежит напротив угла $30°$, а сторона $3\sqrt{2}$ лежит напротив угла $45°$.
Составим пропорцию:
$x / \sin(30°) = 3\sqrt{2} / \sin(45°)$
Выразим $x$:
$x = (3\sqrt{2} \cdot \sin(30°)) / \sin(45°)$
Значения синусов: $\sin(30°) = 1/2$ и $\sin(45°) = \sqrt{2}/2$.
Подставим значения:
$x = (3\sqrt{2} \cdot (1/2)) / (\sqrt{2}/2)$
$x = (3\sqrt{2}/2) / (\sqrt{2}/2)$
$x = 3$
Ответ: 3

в)

Данная фигура — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
Рассмотрим треугольник, образованный диагональю и сторонами $x$ и 6. Противоположные стороны параллелограмма параллельны. Диагональ является секущей для этих параллельных сторон.
Угол, равный $45°$, и угол, противолежащий стороне $x$ в нижнем треугольнике, являются накрест лежащими углами при параллельных прямых (верхней и нижней сторонах параллелограмма) и секущей (диагонали). Следовательно, угол, противолежащий стороне $x$, равен $45°$.
Теперь мы можем применить теорему синусов к нижнему треугольнику.
Сторона $x$ лежит напротив угла $45°$. Противоположная сторона параллелограмма также имеет длину 6. Эта сторона лежит в том же треугольнике напротив угла $30°$.
Составим пропорцию по теореме синусов:
$x / \sin(45°) = 6 / \sin(30°)$
Выразим $x$:
$x = (6 \cdot \sin(45°)) / \sin(30°)$
Значения синусов: $\sin(45°) = \sqrt{2}/2$ и $\sin(30°) = 1/2$.
Подставим значения:
$x = (6 \cdot (\sqrt{2}/2)) / (1/2)$
$x = (3\sqrt{2}) / (1/2)$
$x = 3\sqrt{2} \cdot 2$
$x = 6\sqrt{2}$
Ответ: $6\sqrt{2}$