Тест 2, страница 128 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

Длина отрезка $x$ равна:

а) 6; б) 8; в) 7; г) $5\sqrt{3}$.

Для нахождения длины неизвестной стороны треугольника $x$ воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов утверждает, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Формула теоремы косинусов для стороны $a$, противолежащей углу $\alpha$, выглядит так:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha)$

В данном треугольнике нам известны две стороны (5 и $x$), угол между ними ($60^\circ$) и сторона, противолежащая этому углу (7).
Применим теорему косинусов:
$a = 7$
$b = 5$
$c = x$
$\alpha = 60^\circ$

Подставим эти значения в формулу:
$7^2 = 5^2 + x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x \cdot \cos(60^\circ)$

Выполним вычисления. Мы знаем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
$49 = 25 + x^2 - 10x \cdot \frac{1}{2}$
$49 = 25 + x^2 - 5x$

Теперь приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 5x + 25 - 49 = 0$
$x^2 - 5x - 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$

Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку длина стороны треугольника не может быть отрицательной, корень $x_2 = -3$ не подходит.
Следовательно, длина отрезка $x$ равна 8.
Этот результат соответствует варианту б).

Ответ: б) 8