Номер 241, страница 127 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

241. a) Найдите биссектрису $AK$ треугольника $ABC$, если $AB = 6$, $AC = 8$, $BC = 7$.

б) Найдите биссектрису равнобедренного треугольника с основанием 5 и боковой стороной 20, проведенную к боковой стороне.

а)

Для нахождения длины биссектрисы $AK$ треугольника $ABC$ воспользуемся формулой, связывающей длину биссектрисы с длинами сторон треугольника и отрезками, на которые она делит противолежащую сторону: $AK^2 = AB \cdot AC - BK \cdot KC$.

Сначала найдем длины отрезков $BK$ и $KC$. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AC}$

Из условия задачи известны длины сторон: $AB = 6$, $AC = 8$, $BC = 7$. Подставим эти значения в пропорцию:

$\frac{BK}{KC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Пусть $BK = 3x$, тогда $KC = 4x$. Сумма длин этих отрезков равна длине стороны $BC$:

$BK + KC = BC$

$3x + 4x = 7$

$7x = 7$

$x = 1$

Таким образом, длины отрезков равны $BK = 3 \cdot 1 = 3$ и $KC = 4 \cdot 1 = 4$.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы $AK$, подставив все известные значения в формулу:

$AK^2 = 6 \cdot 8 - 3 \cdot 4 = 48 - 12 = 36$

$AK = \sqrt{36} = 6$

Ответ: 6.

б)

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC = 5$ и боковыми сторонами $AB = AC = 20$. Требуется найти длину биссектрисы, проведенной к боковой стороне. Найдем, например, длину биссектрисы $BM$, проведенной из вершины $B$ к боковой стороне $AC$.

Для вычисления длины биссектрисы $BM$ воспользуемся той же формулой: $BM^2 = AB \cdot BC - AM \cdot MC$, где $M$ — точка пересечения биссектрисы со стороной $AC$.

Сначала найдем, в каком отношении биссектриса $BM$ делит сторону $AC$. По свойству биссектрисы:

$\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}$

Подставим известные длины сторон $AB = 20$ и $BC = 5$:

$\frac{AM}{MC} = \frac{20}{5} = 4$

Это означает, что $AM = 4 \cdot MC$. Мы также знаем, что $AM + MC = AC = 20$. Составим и решим уравнение:

$4 \cdot MC + MC = 20$

$5 \cdot MC = 20$

$MC = \frac{20}{5} = 4$

Теперь найдем длину отрезка $AM$:

$AM = 4 \cdot MC = 4 \cdot 4 = 16$

Подставим найденные значения $AM = 16$ и $MC = 4$ в формулу для длины биссектрисы:

$BM^2 = AB \cdot BC - AM \cdot MC = 20 \cdot 5 - 16 \cdot 4 = 100 - 64 = 36$

$BM = \sqrt{36} = 6$

Ответ: 6.