Номер 249, страница 134 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

249. Внутренний угол правильного $n$-угольника равен $150^\circ$. Найдите число сторон этого $n$-угольника.

Для нахождения числа сторон правильного $n$-угольника можно использовать формулу для вычисления его внутреннего угла $\alpha$:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Согласно условию задачи, внутренний угол $\alpha$ равен $150^\circ$. Подставим это значение в формулу, чтобы составить уравнение относительно $n$:

$150 = \frac{(n-2) \cdot 180}{n}$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на $n$:

$150n = (n-2) \cdot 180$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$150n = 180n - 360$

Перенесем слагаемые с переменной $n$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$360 = 180n - 150n$

$360 = 30n$

Теперь найдем $n$, разделив обе части на 30:

$n = \frac{360}{30}$

$n = 12$

Таким образом, у данного многоугольника 12 сторон.

Другой, более быстрый способ решения, заключается в использовании внешнего угла многоугольника. Сумма внутреннего и внешнего углов правильного многоугольника равна $180^\circ$. Вычислим внешний угол $\beta$:

$\beta = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$. Поскольку у правильного $n$-угольника все $n$ внешних углов равны, величину одного внешнего угла можно найти по формуле:

$\beta = \frac{360^\circ}{n}$

Подставим в эту формулу найденное значение $\beta$:

$30 = \frac{360}{n}$

Из этого уравнения легко найти $n$:

$n = \frac{360}{30} = 12$

Ответ: 12.