Номер 253, страница 135 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

253. Дан правильный пятиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5$ (рис. 200).

а) Найдите углы треугольника $A_1A_2A_3$.

б) Найдите углы треугольника $A_1A_3A_5$.

в) Докажите, что все диагонали пятиугольника равны.

г) Докажите, что диагональ $A_1A_3$ параллельна стороне $A_4A_5$.

д) Докажите, что пятиугольник, образованный при пересечении всех диагоналей данного правильного пятиугольника, также является правильным.

Рис. 200

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного пятиугольника. У правильного n-угольника все стороны и все внутренние углы равны. Величина внутреннего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.

Для правильного пятиугольника (n=5) внутренний угол равен $\frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$.

Таким образом, $\angle A_1A_2A_3 = \angle A_2A_3A_4 = \angle A_3A_4A_5 = \angle A_4A_5A_1 = \angle A_5A_1A_2 = 108^\circ$.

Также, правильный пятиугольник можно вписать в окружность. При этом равные стороны стягивают равные дуги. Величина дуги, стягиваемой одной стороной, равна $360^\circ / 5 = 72^\circ$.

а)

Рассмотрим треугольник $A_1A_2A_3$. Так как $A_1A_2A_3A_4A_5$ — правильный пятиугольник, его стороны равны: $A_1A_2 = A_2A_3$. Следовательно, треугольник $A_1A_2A_3$ является равнобедренным.

Угол $\angle A_1A_2A_3$ является внутренним углом пятиугольника, поэтому $\angle A_1A_2A_3 = 108^\circ$.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: $\angle A_2A_1A_3 = \angle A_2A_3A_1$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle A_2A_1A_3 + \angle A_2A_3A_1 + \angle A_1A_2A_3 = 180^\circ$.

Отсюда, $2 \cdot \angle A_2A_1A_3 = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

$\angle A_2A_1A_3 = \angle A_2A_3A_1 = 72^\circ / 2 = 36^\circ$.

Ответ: углы треугольника $A_1A_2A_3$ равны $108^\circ, 36^\circ, 36^\circ$.

б)

Рассмотрим треугольник $A_1A_3A_5$. Его углы можно найти, используя свойства вписанных в окружность углов. Вершины пятиугольника лежат на описанной окружности.

Угол $\angle A_1A_3A_5$ — вписанный и опирается на дугу $A_1A_5$. Величина этой дуги равна $72^\circ$. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, $\angle A_1A_3A_5 = 72^\circ / 2 = 36^\circ$.

Угол $\angle A_3A_5A_1$ — вписанный и опирается на дугу $A_1A_2A_3$. Величина этой дуги равна сумме дуг $A_1A_2$ и $A_2A_3$, то есть $72^\circ + 72^\circ = 144^\circ$. Следовательно, $\angle A_3A_5A_1 = 144^\circ / 2 = 72^\circ$.

Угол $\angle A_5A_1A_3$ — вписанный и опирается на дугу $A_3A_4A_5$. Величина этой дуги равна сумме дуг $A_3A_4$ и $A_4A_5$, то есть $72^\circ + 72^\circ = 144^\circ$. Следовательно, $\angle A_5A_1A_3 = 144^\circ / 2 = 72^\circ$.

Проверка: $36^\circ + 72^\circ + 72^\circ = 180^\circ$.

Ответ: углы треугольника $A_1A_3A_5$ равны $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$.

в)

Диагонали правильного пятиугольника — это отрезки, соединяющие две его несоседние вершины. Например, $A_1A_3$ и $A_1A_4$.

Все диагонали в правильном пятиугольнике соединяют вершины через одну (например, $A_1$ и $A_3$) или через две (например, $A_1$ и $A_4$). В пятиугольнике это одно и то же, если идти в разных направлениях. Диагональ $A_1A_3$ стягивает дугу $A_1A_2A_3$, равную $144^\circ$. Диагональ $A_1A_4$ стягивает дугу $A_1A_5A_4$, также равную $72^\circ+72^\circ=144^\circ$.

Все диагонали ($A_1A_3, A_2A_4, A_3A_5, A_4A_1, A_5A_2$) стягивают дуги величиной $144^\circ$. В одной и той же окружности хорды, стягивающие равные дуги, равны. Следовательно, все диагонали правильного пятиугольника равны между собой.

Ответ: доказано.

г)

Рассмотрим четырехугольник $A_1A_3A_4A_5$. Все его вершины лежат на описанной окружности. Стороны $A_1A_5$ и $A_3A_4$ являются сторонами правильного пятиугольника, следовательно, они равны. Четырехугольник, вписанный в окружность, у которого две противолежащие стороны равны, является равнобедренной трапецией (или прямоугольником). Так как углы при основании не прямые, $A_1A_3A_4A_5$ — равнобедренная трапеция. В равнобедренной трапеции равные стороны ($A_1A_5$ и $A_3A_4$) являются боковыми сторонами, а две другие ($A_1A_3$ и $A_4A_5$) — основаниями. Основания трапеции параллельны. Таким образом, $A_1A_3 \parallel A_4A_5$.

Ответ: доказано.

д)

Доказательство основано на симметрии. Правильный пятиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5$ имеет центр симметрии вращения. Поворот вокруг этого центра на угол $72^\circ = 360^\circ/5$ переводит пятиугольник в себя: вершина $A_1$ переходит в $A_2$, $A_2$ в $A_3$, и так далее.

При таком повороте диагонали также переходят в диагонали. Например, диагональ $A_1A_3$ переходит в диагональ $A_2A_4$, а диагональ $A_2A_5$ — в $A_3A_1$.

Пятиугольник, образованный пересечениями диагоналей, состоит из точек пересечения этих диагоналей. Поскольку поворот на $72^\circ$ переводит совокупность всех диагоналей в себя, он также переводит совокупность их точек пересечения в себя.

Пусть $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ — вершины внутреннего пятиугольника. Поворот на $72^\circ$ переводит вершину $P_1$ в $P_2$, $P_2$ в $P_3$, и так далее. Поскольку поворот является движением (сохраняет расстояния и углы), из этого следует, что все стороны внутреннего пятиугольника равны ($P_1P_2 = P_2P_3 = \dots = P_5P_1$) и все его углы равны ($\angle P_5P_1P_2 = \angle P_1P_2P_3 = \dots$).

По определению, многоугольник, у которого все стороны и все углы равны, является правильным. Следовательно, пятиугольник, образованный при пересечении всех диагоналей данного правильного пятиугольника, также является правильным.

Ответ: доказано.