Номер 259, страница 138 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

259. а) Вычислите радиус описанной окружности правильного 10-угольника со стороной, равной 6 см. Ответ округлите до 0,1 см.

б) Вычислите радиус вписанной окружности правильного 12-угольника со стороной, равной 24 см. Ответ округлите до 0,1 см.

а) Радиус $R$ описанной окружности правильного $n$-угольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{n})}$.

Для правильного 10-угольника имеем $n=10$, а по условию задачи сторона $a=6$ см. Подставим эти значения в формулу: $R = \frac{6}{2 \sin(\frac{180^\circ}{10})} = \frac{3}{\sin(18^\circ)}$.

Точное значение синуса 18 градусов равно $\sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$. Подставляя это значение, находим радиус: $R = \frac{3}{\frac{\sqrt{5}-1}{4}} = \frac{12}{\sqrt{5}-1}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5}+1)$: $R = \frac{12(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{12(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{12(\sqrt{5}+1)}{4} = 3(\sqrt{5}+1)$ см.

Теперь вычислим приближенное значение, взяв $\sqrt{5} \approx 2,236$: $R \approx 3(2,236 + 1) = 3 \cdot 3,236 = 9,708$ см.

Округлив результат до десятых, как требуется в условии, получаем $R \approx 9,7$ см.

Ответ: 9,7 см.

б) Радиус $r$ вписанной окружности правильного $n$-угольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$.

Для правильного 12-угольника имеем $n=12$, а по условию задачи сторона $a=24$ см. Подставим эти значения в формулу: $r = \frac{24}{2 \tan(\frac{180^\circ}{12})} = \frac{12}{\tan(15^\circ)}$.

Значение тангенса 15 градусов можно найти через формулу тангенса разности: $\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)}$. Используя значения $\tan(45^\circ) = 1$ и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем $\tan(15^\circ) = \frac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 + 1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$. После избавления от иррациональности в знаменателе имеем $\tan(15^\circ) = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{2} = 2 - \sqrt{3}$.

Подставим найденное значение тангенса в формулу для радиуса: $r = \frac{12}{2 - \sqrt{3}}$. Умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{3})$, получим точное значение радиуса: $r = \frac{12(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{12(2 + \sqrt{3})}{4-3} = 12(2 + \sqrt{3})$ см.

Теперь вычислим приближенное значение, взяв $\sqrt{3} \approx 1,732$: $r \approx 12(2 + 1,732) = 12 \cdot 3,732 = 44,784$ см.

Округлив результат до десятых, как требуется в условии, получаем $r \approx 44,8$ см.

Ответ: 44,8 см.