Гимнастика ума, страница 122 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Гимнастика ума

Придумайте «красивый» (рациональный) способ нахождения площади изображенного на рисунке 188 треугольника.

$\sqrt{2}$

$\sqrt{8}$

$\sqrt{10}$

Рис. 188

«Красивый» и рациональный способ нахождения площади данного треугольника заключается в том, чтобы сначала определить его тип. Проверим, не является ли он прямоугольным.

Для этого воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора. Она гласит: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник — прямоугольный.

Обозначим стороны треугольника: $a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{8}$ и $c = \sqrt{10}$.

Найдем квадраты длин сторон:
$a^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
$b^2 = (\sqrt{8})^2 = 8$
$c^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$

Проверим, выполняется ли равенство для самой длинной стороны $c$:
$a^2 + b^2 = c^2$
$2 + 8 = 10$
$10 = 10$

Так как равенство выполняется, данный треугольник является прямоугольным. Стороны $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{8}$ — это его катеты, а сторона $c = \sqrt{10}$ — гипотенуза.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$
$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot 8}$
$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{16}$
$S = \frac{1}{2} \cdot 4$
$S = 2$

Ответ: 2.