Номер 191, страница 106 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

191. а) Точка $M$ лежит на основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников $ABM$ и $CBM$ равны между собой и не зависят от положения точки $M$.

б) Дан треугольник $ABC$. На его стороне $AC$ взята точка $M$. Докажите, что отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ABM$ и $CBM$, не зависит от положения точки $M$.

а)

Пусть $R_{ABM}$ и $R_{CBM}$ — радиусы описанных окружностей треугольников $ABM$ и $CBM$ соответственно.

Применим обобщенную теорему синусов к этим треугольникам.

Для треугольника $ABM$ имеем:

$R_{ABM} = \frac{AB}{2\sin\angle AMB}$

Для треугольника $CBM$ имеем:

$R_{CBM} = \frac{CB}{2\sin\angle CMB}$

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Следовательно, его боковые стороны равны: $AB = CB$.

Точка $M$ лежит на основании $AC$. Углы $\angle AMB$ и $\angle CMB$ являются смежными, поэтому их сумма составляет $180^\circ$:

$\angle AMB + \angle CMB = 180^\circ$

Для синусов смежных углов справедливо равенство:

$\sin\angle AMB = \sin(180^\circ - \angle CMB) = \sin\angle CMB$

Теперь сравним выражения для радиусов $R_{ABM}$ и $R_{CBM}$. Числители дробей равны ($AB = CB$), и знаменатели также равны ($2\sin\angle AMB = 2\sin\angle CMB$). Следовательно, сами радиусы равны:

$R_{ABM} = R_{CBM}$

Первая часть утверждения доказана.

Теперь рассмотрим вторую часть утверждения: независимость радиусов от положения точки $M$.

Применим теорему синусов к тем же треугольникам, но используя другую сторону — общую сторону $BM$.

Для треугольника $ABM$: $R_{ABM} = \frac{BM}{2\sin\angle A}$.

Поскольку мы уже доказали, что $R_{ABM} = R_{CBM}$, то $R_{CBM} = \frac{BM}{2\sin\angle C}$. Равенство $\angle A = \angle C$ для равнобедренного треугольника подтверждает это.

Из формулы $R_{ABM} = \frac{BM}{2\sin\angle A}$ видно, что радиус зависит от длины отрезка $BM$. При перемещении точки $M$ по основанию $AC$ длина отрезка $BM$ изменяется (она минимальна, когда $BM$ — высота, и увеличивается по мере приближения $M$ к точкам $A$ или $C$). Угол $\angle A$ при этом остается постоянным. Следовательно, значение радиуса зависит от положения точки $M$. Таким образом, вторая часть утверждения в условии задачи, по-видимому, содержит неточность.

Ответ: Равенство радиусов доказано. Утверждение о независимости от положения точки M в общем случае неверно.

б)

Пусть $R_{ABM}$ и $R_{CBM}$ — радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABM$ и $CBM$ соответственно. Требуется доказать, что отношение $\frac{R_{ABM}}{R_{CBM}}$ не зависит от положения точки $M$ на стороне $AC$.

Воспользуемся обобщенной теоремой синусов.

Для треугольника $ABM$ радиус описанной окружности выражается как:

$R_{ABM} = \frac{AB}{2\sin\angle AMB}$

Для треугольника $CBM$ радиус описанной окружности выражается как:

$R_{CBM} = \frac{CB}{2\sin\angle CMB}$

Найдем отношение этих радиусов:

$\frac{R_{ABM}}{R_{CBM}} = \frac{\frac{AB}{2\sin\angle AMB}}{\frac{CB}{2\sin\angle CMB}} = \frac{AB}{CB} \cdot \frac{2\sin\angle CMB}{2\sin\angle AMB} = \frac{AB}{CB} \cdot \frac{\sin\angle CMB}{\sin\angle AMB}$

Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $AC$, углы $\angle AMB$ и $\angle CMB$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$.

$\angle AMB + \angle CMB = 180^\circ$

Свойство синусов смежных углов:

$\sin\angle AMB = \sin(180^\circ - \angle CMB) = \sin\angle CMB$

Подставим это в наше выражение для отношения радиусов:

$\frac{R_{ABM}}{R_{CBM}} = \frac{AB}{CB} \cdot \frac{\sin\angle CMB}{\sin\angle CMB} = \frac{AB}{CB}$

Отношение радиусов равно отношению длин сторон $AB$ и $CB$ исходного треугольника $ABC$. Так как длины сторон $AB$ и $CB$ — постоянные величины, их отношение также постоянно и не зависит от выбора точки $M$ на стороне $AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Отношение радиусов равно $\frac{AB}{CB}$ и не зависит от положения точки $M$.