Номер 190, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

190. а) Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, диагональ $AC = 8\sqrt{3}$ см. Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, $\angle ACB = 30^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

б) Основания $BC$ и $AD$ вписанной трапеции $ABCD$ равны 11 см и 21 см соответственно, боковая сторона $AB$ равна 13 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

а)

Поскольку основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, то углы $\angle CAD$ и $\angle ACB$ являются накрест лежащими углами при секущей $AC$. Следовательно, $\angle CAD = \angle ACB = 30^\circ$.

По условию, луч $AC$ является биссектрисой угла $\angle BAD$, поэтому $\angle BAC = \angle CAD$. Таким образом, $\angle BAC = 30^\circ$.

Теперь мы можем найти полный угол при основании $AD$: $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$.

В равнобедренной трапеции сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Окружность, описанная около трапеции $ABCD$, является также описанной окружностью для треугольника $ABC$. Радиус этой окружности $R$ можно найти по теореме синусов для треугольника $ABC$: $2R = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$.

Подставим известные значения: диагональ $AC = 8\sqrt{3}$ см и угол $\angle ABC = 120^\circ$.

Так как $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2R = \frac{8\sqrt{3}}{\sin(120^\circ)} = \frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 16$

Отсюда находим радиус: $R = \frac{16}{2} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

б)

Так как трапеция $ABCD$ вписана в окружность, она является равнобедренной. Следовательно, боковые стороны равны: $AB = CD = 13$ см.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 11$ см.

Так как трапеция равнобедренная, отрезки $AH$ и $KD$ равны. Найдем их длину:

$AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{21 - 11}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту трапеции $BH$:

$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Окружность, описанная около трапеции, совпадает с окружностью, описанной около треугольника $ABD$. Для нахождения ее радиуса $R$ воспользуемся расширенной теоремой синусов: $2R = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)}$.

Сначала найдем синус угла $\angle BAD$ из прямоугольного треугольника $ABH$:

$\sin(\angle BAD) = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{13}$

Теперь найдем длину диагонали $BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. Катет $HD = HK + KD = 11 + 5 = 16$ см (или $HD = AD - AH = 21 - 5 = 16$ см). По теореме Пифагора:

$BD = \sqrt{BH^2 + HD^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см.

Подставим найденные значения в формулу теоремы синусов:

$2R = \frac{20}{\frac{12}{13}} = 20 \cdot \frac{13}{12} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 13}{3 \cdot 4} = \frac{65}{3}$

Отсюда находим радиус:

$R = \frac{65}{3 \cdot 2} = \frac{65}{6}$ см.

Ответ: $\frac{65}{6}$ см.