номер 192, страница 106 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

192. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если:

a) $A(1; 1), B(4; 4), C(4; 0)$;

б) $A(-2; 0), B(6; 6), C(6; -4)$.

а) Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ – длины сторон треугольника, а $S$ – его площадь.

1. Найдем длины сторон треугольника ABC с вершинами A(1; 1), B(4; 4), C(4; 0) по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длина стороны $a = BC$:
$a = BC = \sqrt{(4-4)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$.

Длина стороны $b = AC$:
$b = AC = \sqrt{(4-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

Длина стороны $c = AB$:
$c = AB = \sqrt{(4-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

2. Найдем площадь треугольника $S$. Так как точки B(4; 4) и C(4; 0) имеют одинаковую абсциссу $x=4$, сторона BC лежит на вертикальной прямой. Мы можем принять BC за основание треугольника. Тогда высота, проведенная из вершины A к стороне BC, будет равна разности абсцисс точки A и прямой BC: $h = |x_B - x_A| = |4 - 1| = 3$.

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$.

3. Теперь вычислим радиус описанной окружности:

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{4 \cdot \sqrt{10} \cdot 3\sqrt{2}}{4 \cdot 6} = \frac{12\sqrt{20}}{24} = \frac{\sqrt{20}}{2} = \frac{\sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

б) Аналогично используем формулу $R = \frac{abc}{4S}$ для треугольника с вершинами A(-2; 0), B(6; 6), C(6; -4).

1. Найдем длины сторон треугольника:

Длина стороны $a = BC$:
$a = BC = \sqrt{(6-6)^2 + (-4-6)^2} = \sqrt{0^2 + (-10)^2} = \sqrt{100} = 10$.

Длина стороны $b = AC$:
$b = AC = \sqrt{(6-(-2))^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.

Длина стороны $c = AB$:
$c = AB = \sqrt{(6-(-2))^2 + (6-0)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

2. Найдем площадь треугольника $S$. Сторона BC лежит на вертикальной прямой $x=6$. Примем ее за основание. Высота, проведенная из вершины A, равна $h = |x_B - x_A| = |6 - (-2)| = 8$.

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 = 40$.

3. Вычислим радиус описанной окружности:

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{10 \cdot 4\sqrt{5} \cdot 10}{4 \cdot 40} = \frac{400\sqrt{5}}{160} = \frac{40}{16}\sqrt{5} = \frac{5}{2}\sqrt{5}$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{5}}{2}$.