Номер 185, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

185. а) В треугольнике $ABC$ $\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 105^\circ$, $BC = 6 \text{ см}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

б) Треугольник $ABC$ равнобедренный, основание $AC = 8 \text{ см}$, угол при основании равен $15^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

в) Докажите, что если один из углов треугольника равен $30^\circ$ или $150^\circ$, то длина стороны треугольника, противолежащей этому углу, равна радиусу окружности, описанной около треугольника.

а)

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $,

где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, а $A$, $B$, $C$ — противолежащие им углы.

В треугольнике $ABC$ даны два угла: $\angle B = 45^{\circ}$ и $\angle C = 105^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому третий угол $\angle A$ равен:

$\angle A = 180^{\circ} - (\angle B + \angle C) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 105^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.

Нам известна сторона $BC = 6$ см, которая лежит напротив угла $\angle A$. Обозначим ее как $a$.

Теперь мы можем применить формулу:

$ \frac{BC}{\sin \angle A} = 2R $

Подставим известные значения:

$ \frac{6}{\sin 30^{\circ}} = 2R $

Так как $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$, получаем:

$ \frac{6}{1/2} = 2R $

$ 12 = 2R $

$ R = \frac{12}{2} = 6 $ см.

Ответ: $6$ см.

б)

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 8$ см. Углы при основании равны, и по условию они составляют $15^{\circ}$. Значит, $\angle A = \angle C = 15^{\circ}$.

Найдем угол $\angle B$, противолежащий основанию $AC$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$:

$\angle B = 180^{\circ} - (\angle A + \angle C) = 180^{\circ} - (15^{\circ} + 15^{\circ}) = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$.

Теперь используем следствие из теоремы синусов для стороны $AC$ и противолежащего ей угла $\angle B$, чтобы найти радиус $R$ описанной окружности:

$ \frac{AC}{\sin \angle B} = 2R $

Подставим известные значения:

$ \frac{8}{\sin 150^{\circ}} = 2R $

Значение синуса $150^{\circ}$ равно значению синуса $30^{\circ}$:

$\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

Подставим это значение в уравнение:

$ \frac{8}{1/2} = 2R $

$ 16 = 2R $

$ R = \frac{16}{2} = 8 $ см.

Ответ: $8$ см.

в)

Пусть в некотором треугольнике есть сторона $a$, противолежащая углу $\alpha$. Радиус $R$ описанной около этого треугольника окружности связан с этими элементами через теорему синусов:

$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

Нам нужно доказать, что если $\alpha = 30^{\circ}$ или $\alpha = 150^{\circ}$, то $a = R$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Угол $\alpha = 30^{\circ}$.

Подставим это значение в формулу:

$ \frac{a}{\sin 30^{\circ}} = 2R $

Поскольку $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$, получаем:

$ \frac{a}{1/2} = 2R $

$ 2a = 2R $

$ a = R $

Это доказывает, что если угол равен $30^{\circ}$, то противолежащая ему сторона равна радиусу описанной окружности.

Случай 2: Угол $\alpha = 150^{\circ}$.

Подставим это значение в формулу:

$ \frac{a}{\sin 150^{\circ}} = 2R $

Поскольку $\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$, получаем:

$ \frac{a}{1/2} = 2R $

$ 2a = 2R $

$ a = R $

Это доказывает, что если угол равен $150^{\circ}$, то противолежащая ему сторона также равна радиусу описанной окружности.

Таким образом, мы доказали, что если один из углов треугольника равен $30^{\circ}$ или $150^{\circ}$, то длина стороны треугольника, противолежащей этому углу, равна радиусу окружности, описанной около треугольника.

Ответ: Доказано.