Номер 178, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

178. В треугольнике $ABC$ известно: $\sin A = 0,8$, $\sin B = 0,6$, $AC + BC = 28$ см. Найдите длины сторон $AC$ и $BC$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Согласно этой теореме, для любого треугольника $ABC$ стороны пропорциональны синусам противолежащих углов. Используем соотношение для сторон $AC$ и $BC$ и противолежащих им углов $B$ и $A$ соответственно:

$$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} $$

Подставим в это равенство известные из условия значения: $\sin A = 0,8$ и $\sin B = 0,6$.

$$ \frac{BC}{0,8} = \frac{AC}{0,6} $$

Из полученной пропорции выразим сторону $BC$ через сторону $AC$:

$$ BC = AC \cdot \frac{0,8}{0,6} = AC \cdot \frac{8}{6} = \frac{4}{3} AC $$

По условию задачи также дано, что сумма длин сторон $AC$ и $BC$ равна 28 см:

$$ AC + BC = 28 $$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $AC$ и $BC$. Подставим выражение для $BC$ из первого уравнения ($\frac{4}{3} AC$) во второе:

$$ AC + \frac{4}{3} AC = 28 $$

Выполним сложение в левой части уравнения:

$$ \left(1 + \frac{4}{3}\right) AC = 28 $$

$$ \left(\frac{3}{3} + \frac{4}{3}\right) AC = 28 $$

$$ \frac{7}{3} AC = 28 $$

Теперь из этого уравнения найдем длину стороны $AC$:

$$ AC = 28 \cdot \frac{3}{7} = \frac{28 \cdot 3}{7} = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см} $$

Зная, что $AC = 12$ см, найдем длину стороны $BC$ из условия $AC + BC = 28$:

$$ 12 + BC = 28 $$

$$ BC = 28 - 12 = 16 \text{ см} $$

Ответ: $AC = 12$ см, $BC = 16$ см.