Номер 174, страница 103 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

174. По данным на рисунках 155, а)—в) вычислите длину стороны треугольника, обозначенной знаком вопроса. При расчетах используйте калькулятор (таблицы), результат округлите до 0,1.

a) Дано: $\angle A = 65^\circ$, $\angle B = 70^\circ$, $BC = 10$. Найти $AC = ?$

б) Дано: $\angle A = 110^\circ$, $\angle C = 25^\circ$, $AB = 4$. Найти $BC = ?$

в) Дано: $\angle A = 42^\circ$, $\angle C = 58^\circ$, $AC = 8,5$. Найти $AB = ?$

Рис. 155

а) Для нахождения длины стороны $AC$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Согласно этой теореме, отношения сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны.

Запишем теорему синусов для сторон $AC$ и $BC$:
$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$

Из данных на рисунке имеем: $BC = 10$, $\angle A = 65^\circ$, $\angle B = 70^\circ$.
Подставим известные значения в формулу:
$\frac{AC}{\sin(70^\circ)} = \frac{10}{\sin(65^\circ)}$

Выразим искомую сторону $AC$:
$AC = \frac{10 \cdot \sin(70^\circ)}{\sin(65^\circ)}$

С помощью калькулятора находим:
$AC \approx \frac{10 \cdot 0,9397}{0,9063} \approx 10,368...$

Округляем результат до одной десятой:
$AC \approx 10,4$

Ответ: 10,4.

б) Для вычисления длины стороны $BC$, обозначенной знаком вопроса, применим теорему синусов. Нам известны сторона $AB = 4$, противолежащий ей угол $\angle C = 25^\circ$, и угол $\angle A = 110^\circ$, который является противолежащим для искомой стороны $BC$.

Запишем соотношение по теореме синусов:
$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим данные из условия задачи:
$\frac{BC}{\sin(110^\circ)} = \frac{4}{\sin(25^\circ)}$

Выразим сторону $BC$:
$BC = \frac{4 \cdot \sin(110^\circ)}{\sin(25^\circ)}$

Выполним расчеты на калькуляторе:
$BC \approx \frac{4 \cdot 0,9397}{0,4226} \approx 8,893...$

Округляем полученное значение до десятых:
$BC \approx 8,9$

Ответ: 8,9.

в) Чтобы найти длину стороны $AB$, мы снова используем теорему синусов. Нам дана сторона $AC = 8,5$ и два угла: $\angle A = 42^\circ$ и $\angle C = 58^\circ$. Искомая сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle C$.

Для применения теоремы синусов необходимо найти угол $\angle B$, противолежащий известной стороне $AC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (42^\circ + 58^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Теперь запишем теорему синусов для сторон $AB$ и $AC$:
$\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

Подставим известные значения:
$\frac{AB}{\sin(58^\circ)} = \frac{8,5}{\sin(80^\circ)}$

Выразим искомую сторону $AB$:
$AB = \frac{8,5 \cdot \sin(58^\circ)}{\sin(80^\circ)}$

Произведем вычисления с помощью калькулятора:
$AB \approx \frac{8,5 \cdot 0,8480}{0,9848} \approx 7,319...$

Округлим результат до 0,1:
$AB \approx 7,3$

Ответ: 7,3.