Номер 2, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

2. Найдите радиус $r$ вписанной окружности.

a) $R = 10$

б) $R = 8,5$

в) $R = 4$

а) В данном прямоугольном треугольнике с прямым углом C известны катет $BC=16$ и радиус описанной окружности $R=10$. Гипотенуза $AB$ прямоугольного треугольника является диаметром его описанной окружности. Следовательно, гипотенуза $c = AB = 2R = 2 \cdot 10 = 20$. Второй катет $AC$ найдем по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности $r$ вычисляется по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Подставляем значения: $r = \frac{16+12-20}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Ответ: 4.

б) В данном прямоугольном треугольнике с прямым углом C известны катет $BC=8$ и радиус описанной окружности $R=8,5$. Гипотенуза $c = AB$ равна диаметру описанной окружности: $c = 2R = 2 \cdot 8,5 = 17$. Второй катет $AC$ найдем по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$. Радиус вписанной окружности $r$ равен: $r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{8+15-17}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Ответ: 3.

в) Дан прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом A (равенство катетов $AB$ и $AC$ показано штрихами на чертеже). Радиус описанной окружности $R=4$. Гипотенуза $c = BC$ равна диаметру описанной окружности: $c = 2R = 2 \cdot 4 = 8$. Так как треугольник равнобедренный, его катеты равны. Обозначим их длину как $a$. По теореме Пифагора $a^2 + a^2 = c^2$, то есть $2a^2 = 8^2=64$. Отсюда $a^2=32$ и $a=\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$. Радиус вписанной окружности $r$ для прямоугольного треугольника равен: $r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{4\sqrt{2}+4\sqrt{2}-8}{2} = \frac{8\sqrt{2}-8}{2} = 4\sqrt{2}-4 = 4(\sqrt{2}-1)$.
Ответ: $4(\sqrt{2}-1)$.