Тест 2, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

По данным на рисунке найдите

радиус $r$.

а) 2;

б) 3;

в) 4;

г) 5.

На изображении дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Длины катетов равны $AC = 8$ и $BC = 6$. В треугольник вписана окружность с радиусом $r$. Требуется найти значение этого радиуса.

Для решения задачи можно использовать формулу для радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности. Но для начала необходимо найти длину гипотенузы AB.

1. Найдем гипотенузу AB, используя теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

$AB = \sqrt{100} = 10$

Таким образом, стороны треугольника равны 6, 8 и 10.

2. Теперь воспользуемся формулой для радиуса $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

где $a$ и $b$ – катеты, а $c$ – гипотенуза.

Подставим известные значения:

$r = \frac{8 + 6 - 10}{2} = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Также можно прийти к этому результату, используя общую формулу для радиуса вписанной окружности через площадь ($S$) и полупериметр ($p$): $r = \frac{S}{p}$.

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$.

Полупериметр: $p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{8 + 6 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Радиус: $r = \frac{S}{p} = \frac{24}{12} = 2$.

Оба способа дают одинаковый результат. Радиус вписанной окружности равен 2. Это соответствует варианту ответа а).

Ответ: 2.