Номер 4, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

4. Найдите радиус вписанной и радиус описанной ($R = \frac{a^2}{2h}$) окружностей $\triangle ABC$.

a) б) $P_{ABC} = 64$

$KO : OB = 3:5$

в)

a)

Поскольку углы при основании AC равны ($\angle A = \angle C$), треугольник $ABC$ является равнобедренным с боковыми сторонами $AB = BC$. Из условия дано, что $BC=10$, следовательно $AB=10$. Точка $K$ — точка касания вписанной окружности с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают. Следовательно, $BK$ — это высота и медиана, а $K$ — середина $AC$. Из условия $AK=8$, тогда основание $AC = 2 \cdot AK = 2 \cdot 8 = 16$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$. По теореме Пифагора найдем высоту $BK$ (обозначим ее $h$):

$h = BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$.

Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ воспользуемся формулой $S = p \cdot r$, где $S$ — площадь, а $p$ — полупериметр.

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 48$.

Периметр: $P = AB + BC + AC = 10 + 10 + 16 = 36$.

Полупериметр: $p = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18$.

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p} = \frac{48}{18} = \frac{8}{3}$.

Для нахождения радиуса описанной окружности $R$ воспользуемся формулой для равнобедренного треугольника $R = \frac{a^2}{2h}$, где $a$ — боковая сторона, $h$ — высота к основанию.

$R = \frac{10^2}{2 \cdot 6} = \frac{100}{12} = \frac{25}{3}$.

Ответ: радиус вписанной окружности $r = \frac{8}{3}$, радиус описанной окружности $R = \frac{25}{3}$.

б)

Из рисунка видно, что $BK$ является медианой (так как $AK=KC$ по отметкам на чертеже) и высотой, следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Центр вписанной окружности $O$ лежит на высоте $BK$, которая также является биссектрисой угла $B$.

Дано отношение $KO:OB = 3:5$. Так как $O$ — центр вписанной окружности, $KO$ — это радиус вписанной окружности $r$. Пусть $KO = 3x$, тогда $OB = 5x$. Высота $BK = KO + OB = 3x + 5x = 8x$.

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. $AO$ — биссектриса угла $A$. По свойству биссектрисы в треугольнике $ABK$ имеем: $\frac{AB}{AK} = \frac{OB}{OK} = \frac{5x}{3x} = \frac{5}{3}$.

Пусть $AB = 5y$ и $AK = 3y$. Тогда $BC = AB = 5y$, а $AC = 2 \cdot AK = 6y$.

Периметр треугольника $P_{ABC} = AB + BC + AC = 5y + 5y + 6y = 16y$.

По условию $P_{ABC} = 64$, значит $16y = 64$, откуда $y = 4$.

Находим длины сторон треугольника:

$AB = BC = 5 \cdot 4 = 20$.

$AC = 6 \cdot 4 = 24$.

Теперь найдем высоту $h = BK$ из прямоугольного треугольника $ABK$ (где $AK = AC/2 = 12$):

$h = BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$.

Теперь можем найти радиус вписанной окружности $r$. Так как $BK=8x=16$, то $x=2$.

$r = KO = 3x = 3 \cdot 2 = 6$.

Радиус описанной окружности $R$ найдем по формуле $R = \frac{a^2}{2h}$:

$R = \frac{20^2}{2 \cdot 16} = \frac{400}{32} = \frac{100}{8} = \frac{25}{2} = 12,5$.

Ответ: радиус вписанной окружности $r = 6$, радиус описанной окружности $R = 12,5$.

в)

На рисунке показано, что $BK$ — высота к стороне $AC$, и центр вписанной окружности $O$ лежит на этой высоте. Это возможно только в том случае, если треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC$.

Точка $M$ — точка касания вписанной окружности со стороной $BC$. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности, $BM = 9$ и $MC = 8$.

Тогда сторона $BC = BM + MC = 9 + 8 = 17$.

Поскольку треугольник равнобедренный, $AB = BC = 17$.

Пусть точки $N$ и $K$ — точки касания окружности со сторонами $AB$ и $AC$ соответственно.

По свойству касательных: $BN = BM = 9$, $CK = CM = 8$, $AN = AK$.

Из равенства $AB = AN + BN$ получаем $17 = AN + 9$, откуда $AN = 8$.

Следовательно, $AK = AN = 8$.

Основание $AC = AK + KC = 8 + 8 = 16$.

Итак, стороны треугольника: $AB=17, BC=17, AC=16$.

Найдем высоту $h=BK$ из прямоугольного треугольника $ABK$:

$h = BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{(17-8)(17+8)} = \sqrt{9 \cdot 25} = 3 \cdot 5 = 15$.

Найдем радиус вписанной окружности $r$ по формуле $r = S/p$.

Периметр $P = 17 + 17 + 16 = 50$.

Полупериметр $p = P/2 = 25$.

Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 120$.

Радиус вписанной окружности $r = \frac{S}{p} = \frac{120}{25} = \frac{24}{5} = 4,8$.

Радиус описанной окружности $R$ найдем по формуле $R = \frac{a^2}{2h}$:

$R = \frac{17^2}{2 \cdot 15} = \frac{289}{30}$.

Ответ: радиус вписанной окружности $r = 4,8$, радиус описанной окружности $R = \frac{289}{30}$.