Номер 1, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

1. Найдите величину угла, обозначенного знаком вопроса.

а) На изображении к пункту а) представлен вписанный четырехугольник ABCD, где угол B равен $74^\circ$. Угол D обозначен знаком вопроса.

б) На изображении к пункту б) представлен вписанный четырехугольник ABCD. Дано отношение: $ \angle C : \angle A = 1 : 3 $. Угол A обозначен знаком вопроса.

в) На изображении к пункту в) представлен вписанный четырехугольник ABCD. Дано условие: $ BC \parallel AD $. Угол B равен $112^\circ$. Угол C обозначен знаком вопроса.

a)

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Основное свойство вписанного в окружность четырехугольника заключается в том, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. В данном случае углы $\angle B$ и $\angle D$ являются противолежащими.

Следовательно, их сумма составляет $180^\circ$:
$\angle B + \angle D = 180^\circ$.

Из условия нам известен угол $\angle B = 74^\circ$. Мы можем найти угол $\angle D$, который обозначен знаком вопроса, вычев известное значение из $180^\circ$:

$\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$.

Ответ: $106^\circ$.

б)

Четырехугольник $ABCD$ является вписанным в окружность, поэтому сумма его противолежащих углов $\angle A$ и $\angle C$ равна $180^\circ$:

$\angle A + \angle C = 180^\circ$.

По условию задачи, отношение этих углов составляет $\angle C : \angle A = 1:3$. Введем переменную $x$ для одной части этого отношения. Тогда можно выразить углы следующим образом: $\angle C = x$ и $\angle A = 3x$.

Подставим эти выражения в уравнение для суммы углов:

$3x + x = 180^\circ$

$4x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$.

Мы нашли значение $x$, что соответствует величине угла $\angle C = 45^\circ$.

Искомый угол, обозначенный знаком вопроса, — это $\angle A$. Найдем его величину:

$\angle A = 3x = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

в)

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Кроме того, по условию его основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Это означает, что $ABCD$ является трапецией. Трапеция, вписанная в окружность, всегда является равнобедренной. В равнобедренной трапеции углы при каждом из оснований равны, а значит $\angle B = \angle C$. Так как $\angle B = 112^\circ$, то и искомый угол $\angle C$ также равен $112^\circ$.

Это можно доказать и другим способом. Поскольку $BC \parallel AD$ и $AB$ является секущей, сумма односторонних внутренних углов $\angle A$ и $\angle B$ равна $180^\circ$.

$\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Отсюда найдем угол $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$.

Так как четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Используем это свойство для углов $\angle A$ и $\angle C$:

$\angle A + \angle C = 180^\circ$.

Теперь мы можем найти искомый угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $112^\circ$.