Тест 2, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 2

Найдите величину радиуса R на рисунке, используя формулу

$$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$$

а) 1;

б) 2;

в) $\sqrt{3}$;

г) 3.

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся расширенной теоремой синусов, которая дана в условии задачи:

$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

В этой формуле $a$ — это длина стороны треугольника, а $\alpha$ — это угол, лежащий напротив этой стороны.

Из рисунка видно, что у нас есть треугольник $ABC$, вписанный в окружность. Нам известны:

• Длина стороны $AC = \sqrt{3}$. В контексте формулы это будет сторона $a$.
• Угол $\angle B = 60^{\circ}$, который лежит напротив стороны $AC$. В контексте формулы это будет угол $\alpha$.

Подставим известные значения в формулу:

$ \frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}} = 2R $

Значение синуса угла $60^{\circ}$ является стандартной тригонометрической величиной:

$ \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

$ \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R $

Чтобы упростить левую часть, разделим $\sqrt{3}$ на дробь $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это эквивалентно умножению $\sqrt{3}$ на обратную дробь $\frac{2}{\sqrt{3}}$:

$ \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2R $

Сокращаем $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:

$ 2 = 2R $

Наконец, чтобы найти $R$, разделим обе части уравнения на 2:

$ R = \frac{2}{2} = 1 $

Таким образом, радиус $R$ равен 1.

Ответ: 1.