Тест 3, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

Тест 3

Найдите площадь равнобедренной трапеции $ABCD$.

a) 78;

б) 312;

в) 156;

г) 124.

Найдем длину боковой стороны $CD$ равнобедренной трапеции. Точка касания $K$ делит ее на отрезки $CK = 4$ и $KD = 9$, следовательно, длина всей стороны:
$CD = CK + KD = 4 + 9 = 13$.
Поскольку трапеция равнобедренная, ее боковые стороны равны: $AB = CD = 13$.

В любой четырехугольник, в который можно вписать окружность, выполняется свойство равенства сумм длин противолежащих сторон. Для трапеции $ABCD$ это означает:
$BC + AD = AB + CD$.
Подставив длины боковых сторон, найдем сумму оснований:
$BC + AD = 13 + 13 = 26$.

Высота трапеции $h$, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности ($h = 2r$). Найдем радиус $r$.
Рассмотрим треугольник $COD$, где $O$ — центр вписанной окружности. $CO$ и $DO$ являются биссектрисами углов $\angle BCD$ и $\angle ADC$. Сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180^\circ$ ($\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$). Тогда сумма углов $\angle OCD$ и $\angle ODC$ равна $\frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$, а значит, треугольник $COD$ — прямоугольный ($\angle COD = 90^\circ$).
Радиус $OK$ является высотой в этом прямоугольном треугольнике, проведенной к гипотенузе $CD$. Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:
$OK^2 = CK \cdot KD$
$r^2 = 4 \cdot 9 = 36$
$r = \sqrt{36} = 6$.
Следовательно, высота трапеции равна:
$h = 2r = 2 \cdot 6 = 12$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле, использующей полусумму оснований и высоту:
$S = \frac{BC+AD}{2} \cdot h$.
Подставим найденные значения:
$S = \frac{26}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156$.

Ответ: 156.