Номер 3, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

3. Найдите высоту трапеции, вписанной в окружность.

a) $BC = 5$

$R = 6.5$

(В данном случае $AD$ является диаметром, так как $AC \perp CD$, то есть угол $ACD$ опирается на диаметр)

б) $BC = 12$

$AD = 20$

(В данном случае $AD$ является диаметром, так как проходит через центр $O$)

в) $BC = 6$

$AD = 8$

$R = 5$

a)

Поскольку трапеция ABCD вписана в окружность, она является равнобедренной. Вписанный угол $∠ACD$ является прямым ($90°$), следовательно, он опирается на диаметр окружности. Таким образом, большее основание $AD$ является диаметром описанной окружности.

Диаметр $AD$ равен двум радиусам: $AD = 2R = 2 \cdot 6,5 = 13$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔACD$. Его гипотенуза $AD = 13$, а катет $AC = 5$. Высота трапеции $h$ равна высоте треугольника $ΔACD$, проведенной из вершины $C$ к гипотенузе $AD$.

Сначала найдем второй катет $CD$ по теореме Пифагора: $CD^2 = AD^2 - AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$. Отсюда $CD = \sqrt{144} = 12$.

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами: $S_{ACD} = \frac{1}{2} AC \cdot CD$ и $S_{ACD} = \frac{1}{2} AD \cdot h$. Приравняв эти выражения, получим $AC \cdot CD = AD \cdot h$.

Подставим известные значения: $5 \cdot 12 = 13 \cdot h$, откуда $60 = 13h$. Следовательно, высота $h = \frac{60}{13}$.

Ответ: $\frac{60}{13}$.

б)

Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная. Центр окружности $O$ лежит на основании $AD$, следовательно, $AD$ является диаметром. Длина $AD = 20$.

Радиус окружности $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{AD}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $AH$ вычисляется по формуле: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Центр $O$ является серединой $AD$, поэтому $AO = R = 10$. Найдем длину отрезка $OH$: $OH = AO - AH = 10 - 4 = 6$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔBHO$. Его гипотенуза $BO$ является радиусом окружности ($BO = R = 10$), катет $OH = 6$, а второй катет $BH$ является высотой трапеции $h$. По теореме Пифагора $BO^2 = BH^2 + OH^2$.

Подставляя известные значения, получаем: $10^2 = h^2 + 6^2$, что равносильно $100 = h^2 + 36$. Отсюда $h^2 = 100 - 36 = 64$. Следовательно, высота $h = \sqrt{64} = 8$.

Ответ: 8.

в)

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, значит, она равнобедренная. Из условия видно, что отрезок $OA$ является радиусом, то есть радиус описанной окружности $R = 5$.

Проведем через центр окружности $O$ прямую, перпендикулярную основаниям $AD$ и $BC$. Пусть точки пересечения с основаниями будут $M$ и $N$ соответственно. Отрезок $MN$ является высотой трапеции $h$.

Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит ее пополам. Поэтому $M$ — середина $AD$, а $N$ — середина $BC$.

$MD = \frac{AD}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

$NC = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔOMD$. Гипотенуза $OD$ — это радиус ($OD = R = 5$), катет $MD = 4$. По теореме Пифагора найдем катет $OM$: $OM^2 = OD^2 - MD^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$. Значит, $OM = \sqrt{9} = 3$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔONC$. Гипотенуза $OC$ — это радиус ($OC = R = 5$), катет $NC = 3$. По теореме Пифагора найдем катет $ON$: $ON^2 = OC^2 - NC^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$. Значит, $ON = \sqrt{16} = 4$.

Центр окружности $O$ находится между основаниями трапеции. Следовательно, высота трапеции $h$ равна сумме расстояний от центра до каждого из оснований: $h = OM + ON = 3 + 4 = 7$.

Ответ: 7.