Номер 173, страница 103 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

173. Перенесите в тетрадь и заполните таблицу, в которой $\alpha$ и $\beta$ — углы, а $a$ и $b$ — соответствующие этим углам стороны треугольника. Для нахождения неизвестных значений используйте пропорцию $ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} $.

$a$: 4, —, $\sqrt{6}$

$b$: —, 6, 2

$\alpha$: $30^\circ$, $45^\circ$, $120^\circ$

$\beta$: $45^\circ$, $60^\circ$, —

Для заполнения таблицы будем использовать теорему синусов, заданную в виде пропорции: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$.

Решение для первого столбца

В этом столбце известны $a=4$, $\alpha = 30^\circ$ и $\beta = 45^\circ$. Нужно найти сторону $b$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$

Выразим отсюда $b$:

$b = \frac{4 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$

Используем значения синусов: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ и $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$b = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2} \cdot 2 = 4\sqrt{2}$

Ответ: $4\sqrt{2}$.

Решение для второго столбца

В этом столбце известны $b=6$, $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 60^\circ$. Нужно найти сторону $a$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\sin 60^\circ}$

Выразим отсюда $a$:

$a = \frac{6 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}$

Используем значения синусов: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$a = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$

Ответ: $2\sqrt{6}$.

Решение для третьего столбца

В этом столбце известны $a=\sqrt{6}$, $b=2$ и $\alpha = 120^\circ$. Нужно найти угол $\beta$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{\sqrt{6}}{\sin 120^\circ} = \frac{2}{\sin \beta}$

Выразим отсюда $\sin \beta$:

$\sin \beta = \frac{2 \cdot \sin 120^\circ}{\sqrt{6}}$

Используем значение синуса: $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sin \beta = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{3}{6}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Уравнение $\sin \beta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ для угла треугольника (от $0^\circ$ до $180^\circ$) имеет два решения: $\beta = 45^\circ$ или $\beta = 135^\circ$.

Поскольку сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, нужно проверить, возможно ли каждое из решений. Нам дан угол $\alpha = 120^\circ$.

Если $\beta = 135^\circ$, то сумма двух углов $\alpha + \beta = 120^\circ + 135^\circ = 255^\circ$, что больше $180^\circ$. Такой треугольник невозможен.

Следовательно, единственно возможное значение для угла $\beta$ это $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

Заполненная таблица: