Номер 180, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

180. В параллелограмме ABCD $\angle A$ острый, $\sin \angle DAC = \frac{1}{2}$, $\sin \angle BAC = \frac{3}{4}$. Найдите периметр параллелограмма, если $\text{AB} = 6 \text{ см.}$

Периметр параллелограмма $ABCD$ вычисляется по формуле $P = 2(AB + AD)$. По условию, сторона $AB = 6$ см. Для нахождения периметра необходимо найти длину стороны $AD$.

В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны $BC$ и $AD$ параллельны. Диагональ $AC$ является секущей при этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ равны. Следовательно, их синусы также равны:
$\sin\angle BCA = \sin\angle DAC = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Применим для него теорему синусов, согласно которой стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
$\frac{BC}{\sin\angle BAC} = \frac{AB}{\sin\angle BCA}$.

Подставим в данное соотношение известные значения: $AB = 6$ см, $\sin\angle BAC = \frac{3}{4}$ и $\sin\angle BCA = \frac{1}{2}$.
$\frac{BC}{\frac{3}{4}} = \frac{6}{\frac{1}{2}}$.

Выразим из этого уравнения сторону $BC$:
$BC = \frac{6 \cdot \frac{3}{4}}{\frac{1}{2}} = 6 \cdot \frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{36}{4} = 9$ см.

Так как в параллелограмме противолежащие стороны равны, то $AD = BC = 9$ см.

Теперь можем найти периметр параллелограмма:
$P = 2(AB + AD) = 2(6 + 9) = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Ответ: 30 см.