Номер 182, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

182. а) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС (рис. 159, а), если $cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}$, ВС = 12 см.

б) Найдите длину стороны АВ треугольника АВС (рис. 159, б), если $\angle C = 60^\circ$, а радиус его описанной окружности R = $2\sqrt{3}$ см.

в) Найдите величину острого угла В треугольника АВС (рис. 159, в), если АС = $\sqrt{8}$ см, а радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 2 см.

Рис. 159

а) Для решения задачи воспользуемся следствием из теоремы синусов, которое связывает сторону треугольника, противолежащий ей угол и радиус описанной окружности: $\frac{a}{\sin A} = 2R$, где $a$ – сторона, противолежащая углу $A$, а $R$ – радиус описанной окружности.

В нашем случае сторона $BC$ противолежит углу $A$, поэтому $a = BC = 12$ см.

Нам дан $\cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Найдем $\sin A$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.

Поскольку $A$ — это угол треугольника, $\sin A > 0$.

$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.

Теперь можем найти радиус $R$:

$2R = \frac{BC}{\sin A} = \frac{12}{2/3} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 18$.

$R = \frac{18}{2} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

б) Снова используем следствие из теоремы синусов: $\frac{c}{\sin C} = 2R$.

В данном случае сторона $AB$ противолежит углу $C$, поэтому $c = AB$.

Нам даны $\angle C = 60^\circ$ и радиус описанной окружности $R = 2\sqrt{3}$ см.

Найдем длину стороны $AB$:

$AB = 2R \sin C$.

Значение синуса для $60^\circ$ равно $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим известные значения в формулу:

$AB = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

в) Используем ту же формулу $\frac{b}{\sin B} = 2R$, где $b$ — сторона, противолежащая углу $B$.

В нашем случае $b = AC = \sqrt{8}$ см, а радиус $R = 2$ см.

Выразим $\sin B$ из формулы:

$\sin B = \frac{AC}{2R}$.

Подставим известные значения:

$\sin B = \frac{\sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Уравнение $\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$ имеет два решения: $B = 45^\circ$ и $B = 135^\circ$.

По условию задачи, угол $B$ является острым, то есть $B < 90^\circ$. Следовательно, нам подходит только одно решение.

$B = 45^\circ$.

Ответ: 45°.