Номер 179, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

179. По данным на рисунках 157, а)—в) вычислите:

а) $\angle B$;

б) $AB$;

в) $BC$.

a)

Треугольник $ABC$. Даны: $AB = 6\sqrt{2}$, $BC = 6$, $\angle C = 45^\circ$. Найти: $\angle B$.

б)

Треугольник $ABC$. Даны: $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 75^\circ$, $BC = 4\sqrt{6}$. Найти: $AB$.

в)

Треугольник $ABC$. Даны: $\angle A = 120^\circ$, $\angle C = 15^\circ$, $AC = \sqrt{24}$. Найти: $BC$.

Puc. 157

а)

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

В треугольнике $ABC$ известны сторона $AB = 6\sqrt{2}$, сторона $BC = 6$ и угол $\angle C = 45^\circ$. Нам нужно найти $\angle B$.

Применим теорему синусов для сторон $AB$ и $BC$ и противолежащих им углов $C$ и $A$:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{6\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\sin A}$

Мы знаем, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в уравнение:

$\frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sin A}$

$12 = \frac{6}{\sin A}$

Отсюда находим $\sin A$:

$\sin A = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, может быть $30^\circ$ или $150^\circ$.

1. Если $\angle A = 150^\circ$, то сумма углов $A$ и $C$ будет $\angle A + \angle C = 150^\circ + 45^\circ = 195^\circ$. Это больше $180^\circ$, что невозможно для треугольника.

2. Если $\angle A = 30^\circ$, то сумма углов $A$ и $C$ будет $\angle A + \angle C = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ$. Это возможно.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол $B$:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

Ответ: $105^\circ$.

б)

В треугольнике $ABC$ даны два угла: $\angle A = 60^\circ$ и $\angle B = 75^\circ$. Найдем третий угол $C$, зная, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (60^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

Нам известна сторона $BC = 4\sqrt{6}$, и нужно найти сторону $AB$. Воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$

Подставим известные значения:

$\frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{4\sqrt{6}}{\sin 60^\circ}$

Выразим $AB$:

$AB = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}$

Подставим табличные значения синусов: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$AB = \frac{4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{12}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{12} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$

Упростим выражение, зная что $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$:

$AB = \frac{4 \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$

Ответ: 8.

в)

В треугольнике $ABC$ известны углы $\angle A = 120^\circ$, $\angle C = 15^\circ$ и сторона $AC = \sqrt{24}$. Нужно найти длину стороны $BC$.

Сначала найдем третий угол $B$:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (120^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

Применим теорему синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

Подставим известные значения:

$\frac{BC}{\sin 120^\circ} = \frac{\sqrt{24}}{\sin 45^\circ}$

Выразим $BC$:

$BC = \frac{\sqrt{24} \cdot \sin 120^\circ}{\sin 45^\circ}$

Используем значения: $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

$BC = \frac{2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{18}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Упростим $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$:

$BC = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 6$

Ответ: 6.