Номер 176, страница 103 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

176. Сделайте схематический чертеж треугольника ABC. При помощи теоремы синусов найдите длину стороны b (округлив ответ до $0,1$), если:

a) $a = 4, \alpha = 50^\circ, \beta = 70^\circ;$

б) $a = 6,5, \beta = 120^\circ, \gamma = 45^\circ.$

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для треугольника ABC со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $α, β, γ$ соответственно, теорема синусов записывается так:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Схематический чертеж для обоих случаев представляет собой треугольник ABC, где сторона $a$ (BC) лежит напротив угла $α$ (∠A), сторона $b$ (AC) — напротив угла $β$ (∠B), и сторона $c$ (AB) — напротив угла $γ$ (∠C).

а)

Дано: $a = 4$, $\alpha = 50^\circ$, $\beta = 70^\circ$.

Для нахождения стороны $b$ используем соотношение из теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$

Выразим из этой формулы сторону $b$:

$b = \frac{a \cdot \sin \beta}{\sin \alpha}$

Подставим известные значения:

$b = \frac{4 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 50^\circ}$

Используя калькулятор, найдем значения синусов:

$\sin 70^\circ \approx 0,9397$

$\sin 50^\circ \approx 0,7660$

Теперь вычислим значение $b$:

$b \approx \frac{4 \cdot 0,9397}{0,7660} \approx \frac{3,7588}{0,7660} \approx 4,90705...$

Округлим результат до 0,1:

$b \approx 4,9$

Ответ: 4,9.

б)

Дано: $a = 6,5$, $\beta = 120^\circ$, $\gamma = 45^\circ$.

Для использования теоремы синусов с известной стороной $a$ нам необходимо найти противолежащий ей угол $\alpha$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

$\alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma) = 180^\circ - (120^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$

Теперь, зная угол $\alpha$, мы можем найти сторону $b$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$

Выразим сторону $b$:

$b = \frac{a \cdot \sin \beta}{\sin \alpha}$

Подставим известные и найденные значения:

$b = \frac{6,5 \cdot \sin 120^\circ}{\sin 15^\circ}$

Найдем значения синусов:

$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ \approx 0,8660$

$\sin 15^\circ \approx 0,2588$

Вычислим значение $b$:

$b \approx \frac{6,5 \cdot 0,8660}{0,2588} \approx \frac{5,629}{0,2588} \approx 21,749...$

Округлим результат до 0,1:

$b \approx 21,7$

Ответ: 21,7.