Номер 172, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

172. При помощи формулы Эйлера докажите, что в равностороннем треугольнике $R = 2r$.

Формула Эйлера для треугольника устанавливает связь между расстоянием $d$ между центром описанной окружности (циркумцентром) и центром вписанной окружности (инцентром), радиусом описанной окружности $R$ и радиусом вписанной окружности $r$. Формула имеет следующий вид:

$d^2 = R(R - 2r)$

В равностороннем треугольнике все его замечательные точки (центр описанной окружности, центр вписанной окружности, ортоцентр и точка пересечения медиан) совпадают. Это означает, что центр описанной окружности и центр вписанной окружности находятся в одной и той же точке.

Следовательно, расстояние $d$ между этими центрами равно нулю, то есть $d = 0$.

Подставим значение $d=0$ в формулу Эйлера:

$0^2 = R(R - 2r)$

$0 = R(R - 2r)$

Поскольку для любого невырожденного треугольника радиус описанной окружности $R$ является положительной величиной ($R > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $R$:

$\frac{0}{R} = \frac{R(R - 2r)}{R}$

$0 = R - 2r$

Перенеся $2r$ в левую часть уравнения, мы получаем искомое соотношение:

$R = 2r$

Таким образом, мы доказали, что в равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности.

Ответ: Утверждение доказано с помощью формулы Эйлера, исходя из того, что в равностороннем треугольнике расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей равно нулю.