Номер 167, страница 90 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

167. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на два треугольника, площади которых равны $1 \text{ см}^2$ и $4 \text{ см}^2$. Найдите гипотенузу данного прямоугольного треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Проведем высоту $CD$ к гипотенузе $AB$. Обозначим длину высоты $CD$ как $h$, а длину гипотенузы $AB$ как $c$. Точка $D$ делит гипотенузу на два отрезка: $AD$ и $DB$.

Высота $CD$ делит исходный треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle CDB$. По условию, их площади равны $S_1 = 1$ см² и $S_2 = 4$ см². Пусть $S_{ADC} = 1$ см² и $S_{CDB} = 4$ см².

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Для треугольника $ADC$ основанием является $AD$, а высотой — $CD=h$. Его площадь:

$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = 1$

Для треугольника $CDB$ основанием является $DB$, а высотой — $CD=h$. Его площадь:

$S_{CDB} = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot h = 4$

Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{\frac{1}{2} \cdot DB \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot h} = \frac{4}{1}$

$\frac{DB}{AD} = 4$, откуда $DB = 4 \cdot AD$.

Известно, что высота, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, является средним геометрическим для отрезков, на которые она делит гипотенузу. Это свойство выражается формулой:

$CD^2 = AD \cdot DB$ или $h^2 = AD \cdot DB$.

Подставим в эту формулу выражение $DB = 4 \cdot AD$:

$h^2 = AD \cdot (4 \cdot AD) = 4 \cdot AD^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем (поскольку длины $h$ и $AD$ положительны):

$h = 2 \cdot AD$

Теперь вернемся к формуле площади для треугольника $ADC$ и подставим в нее найденное выражение для $h$:

$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = 1$

$\frac{1}{2} \cdot AD \cdot (2 \cdot AD) = 1$

$AD^2 = 1$

Так как $AD$ — это длина отрезка, $AD = 1$ см.

Теперь можем найти длину второго отрезка $DB$:

$DB = 4 \cdot AD = 4 \cdot 1 = 4$ см.

Гипотенуза $c$ является суммой длин отрезков $AD$ и $DB$:

$c = AB = AD + DB = 1 + 4 = 5$ см.

Ответ: 5 см.